Une autre equation trigonométrique

[Fermat55]

MERCI BEAUCOUP de m'aider a résoudre l'equation trigonométrique suivante :
tg(4x)+tg(x) = tg(3x)+tg(2x)

[aviateur]

Bonjour
Si tu poses f(x)=tan(4x)+tan(x)-(tan(3x)+tan(2x))
On voit que l'équation est f(x)=0.
Mais f est impaire donc si x est solution -x aussi. D'autre part f est périodique donc pour avoir toutes les solutions il suffit de résoudre sur
Or sur il y a exactement 2 solutions et
On en déduit que l'ensemble des solutions est :

[Fermat55]

Comment vous avez trouvé pi/5 ?

[aviateur]

Parce que quand le dénominateur n'est pas nul (et aussi tan(a) tan(b) ont un sens) on a tan(a+b)=(tan(a)+tan(b))/(1-tan(a) tan(b))
Donc tan(4x)+tan(x) s'exprime avec tan(5x) mais aussi tan(3x)+tan(2x).
Autrement dit on peut mettre tan(5x) en facteur ds f.

[aviateur]

Une autre façon de faire pour éviter l'étude des variation de f , c'est d'exprimer touts les tangentes en fonction de la seule tan(x) avec la formule du message précédent.
En posant t=tan(x) ça m'étonnerait pas que l'équation est facile en t.

[Ben314]

Salut,
Perso, j'aurais écrit que


- L'équation a pour solutions les avec (et les dénominateur sont non nul).
- L'équation a pour solutions les avec sauf que, si est impair, le dénominateur est nul et que, si est pair, c'est une solution déjà trouvée dans le premier cas.