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Réponses à toutes vos questions après le Bac (Fac, Prépa, etc.)
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Jubans
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par Jubans » 12 Jan 2019, 18:39
Bonsoir à tous.
J'aimerais trouver une injection de l'ensemble des parties de N (ensemble des entiers naturels) dans R (ensemble des nombres réels )
Des idées svp.
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pascal16
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par pascal16 » 12 Jan 2019, 20:06
n -> n
[edit] dsl, j'ai loupé le mot "parties"
Modifié en dernier par
pascal16 le 12 Jan 2019, 22:16, modifié 1 fois.
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mathelot
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par mathelot » 12 Jan 2019, 21:23
bsr,
une application de
dans
définie par
on suppose que la partie P est indicée. Les entiers a_i sont écrits en base 2.
les a_i forment le développement en base 3 du réel f(P). Les deux ("2") servent d'intercalaires.
Modifié en dernier par
mathelot le 12 Jan 2019, 21:52, modifié 1 fois.
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Jubans
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par Jubans » 12 Jan 2019, 21:31
Je n'ai pas vraiment compris la définition de l'application f !
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mathelot
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par mathelot » 12 Jan 2019, 21:57
Je l'ai complètement remaniée.
L'application f est définie par:
1) On considère une partie P de N.
Elle est ordonnée par la relation d'ordre >=
Les entiers , éléments de cette partie sont écrits en binaire.
2) ensuite on les concatène à la queue-leu-leu pour faire un développement "décimal" en base 3 d'un réel de (0;1). Les chiffres 2 servent d'intercalaires.
exemple:
0,
02
12
102
112
1002..... en base 3.
Modifié en dernier par
mathelot le 12 Jan 2019, 23:41, modifié 4 fois.
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Jubans
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par Jubans » 12 Jan 2019, 22:04
Et la suite ?
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pascal16
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par pascal16 » 12 Jan 2019, 22:20
si deux images sont égales :
avec les 2 en séparateur, tu sait qu'elles ont le même nombre d'éléments
avec l’écriture en binaire de chaque élément : tous les éléments sont identiques.
NB : {6,28}=110211100
2 est le séparateur
110 (base 2) = 6 (base 10)
11100 (base 2) = 28 (base 10)
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mathelot
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par mathelot » 12 Jan 2019, 23:10
avec ces applications, on voit que l'ensemble des parties finies de
est dénombrable
et
est équipotent à
(théorème de Cantor-Bernstein) et a donc comme cardinal la puissance du continu.
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mathelot
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par mathelot » 13 Jan 2019, 00:01
pascal16 a écrit:si deux images sont égales :
avec les 2 en séparateur, tu sait qu'elles ont le même nombre d'éléments
avec l’écriture en binaire de chaque élément : tous les éléments sont identiques.
NB : {6,28}=110211100
2 est le séparateur
110 (base 2) = 6 (base 10)
11100 (base 2) = 28 (base 10)
là, tu ne traites que les parties finies. pour les parties infinies, on les injecte dans le développement des chiffres après la virgule.
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Jubans
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par Jubans » 13 Jan 2019, 01:44
J'ai compris jusque là, mais je pige pas la dernière réponse de mathelot !
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par mathelot » 13 Jan 2019, 02:10
Pascal ne se sert pas de l'écriture décimale avec des chiffres après la virgule. Ce qu'il a fait ne marche que pour les parties finies de N.
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Jubans
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par Jubans » 13 Jan 2019, 02:19
D'accord je vois !
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Jubans
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par Jubans » 13 Jan 2019, 10:30
Et comment cela fonctionne pour les parties infinies alors ?
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mathelot
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par mathelot » 13 Jan 2019, 11:21
Pour les parties infinies, on 'injecte' leurs éléments dans un développement dyadique illimité ce qui donne un nombre entre 0 et 1.
Exemple: à la partie N={0,1,2,3..}, on associé le nombre 0,021210211210021012...qu on peut considérer en base 10 (au début du thread on le considérait en base 3), de cette façon on injecte P(N) dans l intervalle] 0;1[
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pascal16
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par pascal16 » 13 Jan 2019, 12:30
Je suis toujours impressionné par la pédagogie de Mathelot.
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Jubans
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par Jubans » 13 Jan 2019, 13:29
Moi aussi.
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