Problème de temps de réalisation

[crassmok]

Bonjour,

Je dois résoudre le problème suivant. Plusieurs personnes produisent/controle/valide plusieurs articles différents dans un laps de temps fini. Je dois trouver quelle est la durée moyenne des ces action sur les articles.

ex.:
jean : produit 3 pièces rondes + controle 5 pièces carrees + valide 10 pièces ovale en 8 heures
alain : produit 7 pièces rondes + controle 2 pièces carrées + valide 8 pièces ovale en 7 heures
albert : produit 2 pièces rondes + controle 10 pièces carrées + valide 2 pièces ovale en 9 heures
sonia : produit 0 pièces rondes + controle 5 pièces carrées + valide 3 pièces ovale en 3 heures

Quelle est la durée moyenne de production des pièces rondes ?
Quelle est la durée moyenne de controle des pièces carrées ?
Quelle est la durée moyenne de validation des pièces ovale ?

Merci pour votre aide.

[pascal16]

Je trouve cette question très intéressante.

Je n'ai pas trouvé de méthode qui me semble pourtant exister en stat.

Version 1.
Il me semble que passer par la minimisation de la distance des observations rapport à une droite moyenne
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?13,587855,587863,quote=1
Cf la méthode à Lagrangien en 14ieme post

Version 2 stupide, mais pas trop.
-> on résous les 3 systèmes 3x3 et on fait la moyenne des résultats (on peut pondérer la moyenne par le nombre d'heures d'heures totale de chaque système)

Version 3 non exacte, mais qui s'étend à n équations
-> on utilise une méthode à gradient pour trouver la solution la plus proche

[aviateur]

Bonjour
Si tu appelles les durées en moyennes que mettent les ouvriers pour faire respectivement les pièces R, C et O alors la durée mis par chacun des protagonistes et
MU où M est la matrice

Donc U est la solution du système MU=b. avec
Mais ce système n'a pas de solution (car b n'est pas dans l'image de M, on cherche donc U qui minimise (norme euclidienne).
Ce vecteur est donc la solution qui est un système
La solution est


Remarque: Si on calcule on trouve
Soit un écart relatif

[pascal16]

avec une minimisation de l'erreur :
en calculant l'erreur avec une valeur absolue, j'ai : (0.46 ; 0.75 ; 0.29)
en calculant l'erreur avec une valeur absolue pondérée par le nb d'heures totales, j'ai : (0.46 ; 0.75 ; 0.29)
en calculant l'erreur avec les moindres carrés (norme 2 donc) , j'ai : (0.60 ; 0.70 ; 0.22)
Vu que c'est la moyenne qui minimise les moindres carrés...

[aviateur]

avec une minimisation de l'erreur :
en calculant l'erreur avec une valeur absolue, j'ai : (0.46 ; 0.75 ; 0.29)
en calculant l'erreur avec une valeur absolue pondérée par le nb d'heures totales, j'ai : (0.46 ; 0.75 ; 0.29)
en calculant l'erreur avec les moindres carrés (norme 2 donc) , j'ai : (0.60 ; 0.70 ; 0.22)
Vu que c'est la moyenne qui minimise les moindres carrés...

Il faudra peut être un jour que tu expliques "ton vocabulaire" pour qu'on comprenne.
Je prend simplement ta dernière phrase
"en calculant l'erreur avec les moindres carrés (norme 2 donc) , j'ai : (0.60 ; 0.70 ; 0.22)
La méthode des moindres carrées je l'explique dans mon message donc on trouve bien le même.
Mais alors qu'est ce ça veut dire " en calculant l'erreur avec les moindres carrés". Moi perso je comprend pas. Et pourtant je sais très bien ce qu'est la méthode des moindres carrés.!!!

Alors "en calculant l'erreur avec une valeur absolue je trouve....". Et bien perso je comprend pas ce ça veut dire.

[pascal16]

en utilisant ||MU-b||2 , la meilleur solution est la tienne, je la retrouve avec une méthode approchée.
minimiser ||MU-b||2 est aussi la méthode des moindres carrés si je ne m'abuse.

en utilisant ||MU-b||1 : la solution est assez différente (0.46 ; 0.75 ; 0.29)
en utilisant ||MU-b||1 + pondération (3ième équation n'est un relevé que de 3h) : (0.46 ; 0.75 ; 0.29)
la pondération linéaire étant pertinente sur une erreur en norme 1.

[PS] ça m'a permis de tester mon parser de matrice
... -> Mat1
Matrice Mat 1 , 4 x 3
| 3 5 10 |
| 7 2 8 |
| 2 10 2 |
| 0 5 3 |
... -> Mat2
Matrice Mat 2 , 4 x 1
| 8 |
| 7 |
| 9 |
| 3 |
M3=INV(TRN(M1)*M1)*(TRN(M1)*M2)

Matrice Mat 3 , 3 x 1
| 0.601488529841253 |
| 0.699467709265627 |
| 0.215931037731405 |

[aviateur]

Bon je comprend mieux .
En fait tu U minimise la norme 1.
La méthode des moindres carrés c'est celle qui minimise
Mais il n'y a qu'une seule méthode. C'est surement une présentation différente mais j'ai choisi l'approche matricielle par rapport à l'approche analytique. Seule l'arrondi des chiffres différent.

[Ben314]

Salut,
A mon sens, le gros problème, c'est de savoir ce que peut bien désigner le terme de "moyenne" dans un cas pareil.
Parce que perso, face à ce type de question à la con, je me serait pas trop fait chier :
En une heure, Jean produit en moyenne 3/8 de pièces rondes ; Alain en produit 7/7 ; Albert en produit 2/9 et Sonia en produit 0/3. Soit un total de 115/72 à l'heure et donc le "temps moyen" pour produire une pièce ronde est de 72/115 heure (37 minutes 34 secondes).

Et si on me demande à quoi correspond ce "temps moyen de production" heures/pièce, ben je répondrait que le temps qu'il faut pour que l'équipe de 4 produise pièces rondes est approximativement égal à heures pour grand (en terme mathématique, c'est un équivalent lorsque ).

Parce que pour ne rien vous cacher, j'ai un peu du mal à voir à quoi ils correspondent concrètement parlant vos différents "temps moyen de production".

[aviateur]

Bonjour
Cet énoncé manque de précision.
Alors on peut l'interpréter comme on veut et pas uniquement comme tu le dis.
Dans ton cas, tu calcules le temps moyen mis par le groupe des 4 personnes. Un point c'est tout.
Personnellement (mais aussi @pascal) je vois la question autrement. On a pris un échantillon de 4 personnes dans l'usine qui en probabilité vont mettre un certain temps moyen (celui de de l'ensemble des ouvriers qui fabriquent la pièce) et on désire estimer ce temps moyen.
Si le temps est U=(T1,T2,T3) on devrait avoir MU=B et on décide de prendre comme estimation celui qui minime la norme 2 de MU-B

[pascal16]

Perso, je trouve ces données proche de ce que l'on peut trouver en entreprise.
-> bcp de données, arrondies, plus ou moins justes... très loin d'un jolie méthode du pivot de Gauss et pourtant, l'analyse nous sort un résultat exploitable avec une erreur moyenne (1.36/4 = 0.34h, c'est assez élevé).

[PS] : j'en ai profité pour redémontrer la formule matricielle en norme 2 via les dérivées partielles.

[Ben314]

Personnellement (mais aussi @pascal) je vois la question autrement. On a pris un échantillon de 4 personnes dans l'usine qui en probabilité vont mettre un certain temps moyen (celui de de l'ensemble des ouvriers qui fabriquent la pièce) et on désire estimer ce temps moyen.

Certes, certes : j'ai parfaitement compris mathématiquement parlant ce que vous avez calculé.
Sauf que la question que j'ai posé, c'est à quoi ça correspond concrètement parlant ?
C'est à dire que ça répond à quelle question que les mecs de l'entreprise pourraient se poser votre "moyenne" ?

P.S. Et je précise bien que c'est une VRAI question vu que je comprend rien du tout à ton truc d'échantillon de 4 personnes : pour toi, Jean, Alain, Albert et Sonia c'est pas les 4 gus qui bossent sur 4 postes différents dans la boite ? (parce que moi, en lisant l'énoncé, j'ai absolument pas compris qu'ils étaient sensés être plus plus de 4 dans la boutique...)

[aviateur]

Non mais je pense qu'on n'a pas tous les éléments.
Je suis d'accord avec toi, vu l'énoncé c'est ta version qui semble le plus plausible.
Sauf que j'ai vu @pascal répondre et puis la question est posée au niveau du supérieur.
Alors si on comprend l'exercice tel quel (i.e comme toi) c'est un exercice d'arithmétique presque d'école primaire. Alors j'ai suivi l'idée de @pascal.

[pascal16]

Celui qui a posté le question ne regardera peut-être jamais la réponse, alors, comme ça arrive souvent, on se crée notre propre panel de réponses.

Je pense, vu le contexte, que c'est bien la réponse d'Aviateur qui était attendue, ou toute solution utilisant les moindres carrés.