Les plynômes

[wingsLY2013]

bonsoir
svp aidez moi à résoudre cela :
1-déterminer un polynome p(x) de second degré tel que p(x+1)- p(x)=x
2-déduire la valeur de la somme : 1+2+...+n

[aviateur]

Bonjour
p(x)=1/2x(x-1) est solution.
Donc j=p(j+1)-p(j) est à exploiter.

[pascal16]

1-déterminer un polynome p(x) de second degré tel que p(x+1)- p(x)=x
-> méthode brutale, on pose ax²+bx+c comme polynôme
on calcule p(x+1)- p(x)
on identifie à x
on trouve a et b, c étant quelconque c=0 convient

2-déduire la valeur de la somme : 1+2+...+n
p(x+1)- p(x)=x


p(2)- p(1)=1
p(3)- p(2)=2
....
p(n+1)-p(n)=n
on somme tout ça, reste d'un coté deux valeurs, de l'autre la somme cherchée

[wingsLY2013]

j'ai trouvé a=1 et b=-1

[aviateur]

1-déterminer un polynome p(x) de second degré tel que p(x+1)- p(x)=x
-> méthode brutale, on pose ax²+bx+c comme polynôme
on calcule p(x+1)- p(x)
on identifie à x
on trouve a et b, c étant quelconque c=0 convient

J'aurai dit méthode standard et non brutale, i.e celle à laquelle tout le monde peut penser.
Perso voici comment j'ai fait. On voit que les constantes sont solutions de l'équation homogène et avec x=0, on a p(1)=p(0). Je peux alors chercher une solution qui vérifie p(1)=p(0)=0, c'est à dire p(x)=ax(x-1). p(2)=1 implique a=1/2.

[wingsLY2013]

je n'arrive pas à comprendre

[aviateur]

C'est pas grave, fais alors la méthode brutale.

[pascal16]

méthode analytique directe :

p(x+1)- p(x)=x
p : ax²+bx+c

p(x+1) = a(x+1)²+b(x+1) + c

p(x+1)- p(x) = (a(x+1)²+b(x+1) + c )-( ax²+bx+c)

quand tu développes (x+1)², tu as un "2x" qui apparaît qui te fera a=1/2 ensuite