Exercice d'ajustement polynomial

[Ruta]

Bonjour, j'ai un dm de spé à faire et celui -ci parle d'ajustement polynomial, chose jamais vue en classe.

Voici l'énoncé :

Le tableau ci dessous indique les dépenses publiques totales de la Suisse au titre de l'éducation en million de SPA. en utilisant un ajustement polynomial, donner une estimation de la dépense publique de la suisse pour l'éducation en 2015.

Année | 2008 | 2009 | 2010 | 2011
Dépense | 14177.3 | 14723.8 | 15.334.1 | 16393.3

Pouvez vous m'aider ?
Bonne journée

[jlb]

Salut, donne moi un exemple de polynôme pour voir.

[Ruta]

Bonjour,
Les fonctions polynômes qui me viennent sont ax+b et a x^3+bx²+cx+d

[jlb]

Ok, tu connais deux trois trucs donc je t'aide! Pour ton 1er polynome de degré 1 , tu as besoin de connaitre les deux nombres a, b, pour ton deuxième de degré 3 tu as besoin de 4 nombres a,b,c et d. Dans ton énoncé, il y a 4 infos donc on va chercher un polynome de degre3. Tu suis?

[Ruta]

Jusque là, oui

[jlb]

Tu appelles P le polynôme recherché pour l'interpolation ( en fait, le truc, c'est de chercher une fonction polynômiale qui va passer par les points de l'énoncé; (2008;14177.3) , ( 2009;14723.8), ( 2010;14334.1) et (2011;16393.3), elle doit vérifier P(2008) = 14177.3 soit a2008^3 +b2008² + c2008 + d = 14177.3
où P(x)= ax^3 +bx²+cx+d. Tu devras écrire les 4 équations pour déterminer a,b,c et d et ensuite tu pourras calculer ce que tu cherches.
Et sinon, tu utilises un tableur et tu luis demande de réaliser le travail pour toi!

Si tu dois faire cela à la main, écris d'abord les 4 équations et ensuite je t'aiderai pour résoudre le système.

[Ruta]

J'ai donc choisi l'option du tableur, qui me parait être un gain de temps. J'ai rentré toutes les valeurs mais je ne sais pas quoi faire par la suite. (lien de ce que j'ai fait https://www.noelshack.com/2019-02-3-154 ... dm-spe.png)

[Ruta]

J'ai donc choisi l'option du tableur, qui me parait être un gain de temps. J'ai rentré toutes les valeurs mais je ne sais pas quoi faire par la suite. (lien de ce que j'ai fait https://www.noelshack.com/2019-02-3-154 ... dm-spe.png)

en parallèle j'ai essayé de rentrer mes valeurs dans des matrices en faisant X = A^-1 * B
j'ai trouvé :

a = 64,1876
b = -386827.26
c = 777072407.9
d = -5.203

Cela me semble peu cohérent mais je ne sais pas.

[jlb]

Désolé, tu ne répondais pas. Du coup, pour le tableur,ce n'est pas cela! On oublies les a,b,c,d: tu entres les années sur une colonne et les valeurs en face. Tu représentes alors les valuers de la deuxième colonne en fonction de la première colonne ( année) et normalement tu as possibilité lisser tout cela et d'obtenir le polynome utilisé ou encore plus rapide: d'obtenir ton résultat par lecture graphique.

Sinon, bonne initiative pour résoudre le système!

Il te reste à calculer P(2015)= 64,1876x2015^3 -3838.26x2015²+ 777072407,9x2015 -5.203. Bon courage.

[pascal16]

f(x)= 64.18.x^3- 396801x²+777019494x-520 301 811 699 d'après le tableur (valeurs arrondie)

il manque juste 10^11 pour la constante

PS : en partant de (x-2008) comme variable on a des coefficients plus pertinents
PS2 : on a quasi des points alignés.

[Ruta]

Avec le tableur j'ai obtenu 19149.14 pour 2015

avec le calcul j'ai obtenu 5.203372882e+11 en utilisant les valeurs exactes

d’après l’énoncé la réponse du tableur semble la plus convaincante?

[pascal16]

j'ai obtenu 19149.14 pour 2015 -> ça c'est en régression linéaire, qui est bien adaptée car la régression avec un polynôme de degré 3 amplifie énormément la fin de la courbe.

[LB2]

Si on veut une solution qui passe exactement par les 4 points de l'énoncé : on recherche un polynôme de degré (au moins) égal à 3.
Si on veut une solution qui passe à peu près par les 4 points de l'énoncé, on peut rechercher un polynôme de degré 1.

A ce moment, si on considère le système linéaire AX=B où cette fois A est une matrice 4x2 correspondant aux colonnes D et E du tableur, et B toujours la colonne F de façon exacte, on n'en cherchera pas une solution exacte (en général elle n'existe pas si les points sont non alignés), mais seulement une solution approchée, en prenant la "meilleure solution possible", c'est à dire la plus proche (au sens de la norme euclidienne) de la solution exacte.
On parle de solution au sens des moindres carrés. C'est le principe de la régression linéaire.