Une équivalence trigonométrique

[rdt]

Bonsoir,


Je dois déterminer n tel que z^n soit réel, avec z = 2e^(-i(pi/3)).
Je pose z^n réel ssi arg(z^n) = 0;
j’en déduis n*arg(z) = 0, puis -npi/3 = 0, et enfin n = 0.

Mais c’est apparement faux puisque mon livre passe de -npi/3 = 0 à -npi/3 = kpi, puis déduis n = -3k, avec k entier relatif.

Quelqu’un pourrait-il m’aider à comprendre l’équivalence entre -npi/3 = 0 et -npi/3 = kpi ?

Merci d’avance

[Lostounet]

Bonsoir,


Je dois déterminer n tel que z^n soit réel, avec z = 2e^(-i(pi/3)).
Je pose z^n réel ssi arg(z^n) = 0;
j’en déduis n*arg(z) = 0, puis -npi/3 = 0, et enfin n = 0.

Bah non car on peut avoir un argument égal à pi: dans ce cas le complexe est un nombre négatif.
Exemple: exp(i*pi) = -1 est réel avec un argument de pi.

En fait la CNS est arg(z)=0 modulo pi ce qui signifie que arg(z) = k* pi pour que z soit un réel.

[pascal16]

z réel <=> z=0 ou (arg(z) = 0 ou pi)
l' argument d'un complexe étant à 2kpi près

valoir 0 ou pi à 2kpi près, c'est valoir 0 à kpi près.

[tsunemori]

tout les 3x pi/3 tu fais un demi tour sur ton cercle trigo, donc tu reviens sur l'axe des réel. ça reviens a avoir 0i soit 1 (réel)
ou 3x pi/3 donc pi, ce qui donne -1 (réel)
ou 3*K pi/3 toujours réel

[Pisigma]

Bonsoir,

[rdt]

merci à tous!

[Pisigma]

de rien