Divisibilité dans Z

[nix64]

Bonjour
en faisant cet exercice je me suis bloqué dans la question b

[aviateur]

Bjr
Tu peux commencer comme tu as fait ds le a, I;e le pb est équivalent
2x=4 mod 5
Et ça c'est équivalent x=2 mod 5.

Les sol sont donc de la forme x=2+5k , k in Z.

[nix64]

je ne vois pas comment 2x=4 mod 5 est equivalent à x = 2 mod 5 car 2 ne devis pas 5
x =2 mod 5 implique que 2x = 4 mod 5 on a pas equivalence
je ne vois pas comment vous avez fait

[aviateur]

Modulo 5 on a 2x0=0 2x1=1 2x2=4 2x3=1 et 2x4=3 c'est tout.

[chan79]

mod 10
signifie
2x=4+10k
En divisant par 2
x=2+5k
soit
mod 5

[pascal16]

J'ai jamais été pro de diophantisme :
2x ≡ 4 [5] est pour moi à comprendre comme une équation
=>
il existe k dans Z tel que 2x= 4+5k
mais par parité k impair est impossible, k est donc pair

on a donc équivalence des équations suivantes :
2x ≡ 4 [5] <=> 2x= 4+5k et k pair <=> 2x ≡ 4 [10] <=> x ≡ 2 [5]

[Ben314]

Salut,

je ne vois pas comment 2x=4 mod 5 est equivalent à x = 2 mod 5 car 2 ne devis pas 5
x =2 mod 5 implique que 2x = 4 mod 5 on a pas equivalence

A mon avis, LE truc à bien comprendre, surtout si tu continue à faire de l'algèbre, c'est que "la division", c'est une opération "qui existe pas" dans plein de contextes et qui est plus qu'avantageusement à remplacer par "multiplier par l'inverse" qui permet de bien voir que c'est licite à condition que l'élément en question soit inversible.
Par exemple, dans le cas de l'algèbre linéaire, un système où A est une matrice nxn et X et B deux vecteurs colonnes nx1, ben, si A est inversible, c'est équivalent à .
Et là, c'est exactement pareil : pour l'implication , c'est O.K. vu que tu as multiplié par 2 des deux cotés et pour la réciproque , ce qu'il faut faire, c'est multiplier par l'inverse de 2 modulo bien entendu que cet inverse existe.
Et là, il y a deux option :
- Soit très terre à terre : l'inverse de 2 modulo 5 existe et c'est 3 vu que donc l'implication s'obtient simplement en multipliant par 3 des deux cotés.
- Soit en étant plus théorique en disant que, si et sont premiers entre eux, alors il existe tel que (Bézout) donc ce qui signifie que est inversible modulo .
Donc ici, vu que 2 et 5 sont premiers entre eux, c'est que 2 est inversible modulo 5.
Évidement cette deuxième méthode est préférable vu qu'elle évite d'avoir à chercher explicitement qui est l'inverse de 2 modulo 5 (mais bon, tant que tu est sur du "petit" modulo, on peut parfaitement chercher à la main si un entier donné est ou pas inversible)

[nix64]

Salut,

je ne vois pas comment 2x=4 mod 5 est equivalent à x = 2 mod 5 car 2 ne devis pas 5
x =2 mod 5 implique que 2x = 4 mod 5 on a pas equivalence

A mon avis, LE truc à bien comprendre, surtout si tu continue à faire de l'algèbre, c'est que "la division", c'est une opération "qui existe pas" dans plein de contextes et qui est plus qu'avantageusement à remplacer par "multiplier par l'inverse" qui permet de bien voir que c'est licite à condition que l'élément en question soit inversible.
Par exemple, dans le cas de l'algèbre linéaire, un système où A est une matrice nxn et X et B deux vecteurs colonnes nx1, ben, si A est inversible, c'est équivalent à .
Et là, c'est exactement pareil : pour l'implication , c'est O.K. vu que tu as multiplié par 2 des deux cotés et pour la réciproque , ce qu'il faut faire, c'est multiplier par l'inverse de 2 modulo bien entendu que cet inverse existe.
Et là, il y a deux option :
- Soit très terre à terre : l'inverse de 2 modulo 5 existe et c'est 3 vu que donc l'implication s'obtient simplement en multipliant par 3 des deux cotés.
- Soit en étant plus théorique en disant que, si et sont premiers entre eux, alors il existe tel que (Bézout) donc ce qui signifie que est inversible modulo .
Donc ici, vu que 2 et 5 sont premiers entre eux, c'est que 2 est inversible modulo 5.
Évidement cette deuxième méthode est préférable vu qu'elle évite d'avoir à chercher explicitement qui est l'inverse de 2 modulo 5 (mais bon, tant que tu est sur du "petit" modulo, on peut parfaitement chercher à la main si un entier donné est ou pas inversible)

merci beaucoup pour vous tous

[nix64]

une dernière question pour bien clôturer le sujet
vous m' avez ouvert les yeux que l inverse de 2 modulo 5 est 3 ce que nous a permis d établir l équivalence

voyon maintenant pour ce cas modulo 10 on a est ce que je peux trouver un inverse pour 4 modulo 10
car j ai pas réussi et en général quand est ce que l inverse modulo n existe

[aviateur]

Bonjour
Voyons tu as zappé mon explication pour 2x=4 mod (5) implique
x=2 mod 5. (table de 2 que l'on fait de tête Z/ 5Z ).
Et aussi celle qui suit 5 est premier (donc premier avec 2).
Alors dans ton premier message tu as fait la table de 4 dans Z/10Z donc tu as la réponse.
D'autre part sans cette table, est ce que 4 peut avoir un inverse dans Z/10Z (4 est-il premier avec 10)?

[nix64]

Bonjour
Voyons tu as zappé mon explication pour 2x=4 mod (5) implique
x=2 mod 5. (table de 2 que l'on fait de tête Z/ 5Z ).
Et aussi celle qui suit 5 est premier (donc premier avec 2).
Alors dans ton premier message tu as fait la table de 4 dans Z/10Z donc tu as la réponse.
D'autre part sans cette table, est ce que 4 peut avoir un inverse dans Z/10Z (4 est-il premier avec 10)?

je ne connais pas jusque maintenant cette notion de Z/nZ j ai juste voulu généraliser je comprend maintenant c est la corollaire de théorème de Bézout merci beaucoup

[pascal16]

.... l'inverse de 2 modulo 5 existe et c'est 3 vu que donc l'implication s'obtient simplement en multipliant par 3 des deux cotés.

3 étant régulier dans Z/5Z, (premier avec 5), n'a-t-on pas directement équivalence à la place de l'implication ?

[nix64]

regardons s' ils vous plait cette équation:


quand on utilise un table de congruence qu est ce qu' explique l equivalence
et comment on résout cette équation sans passé par le table de congruence s' il ya moyen ??

[aviateur]

Pourquoi des ????? regarde ton tableau.
Ou alors pose une autre question telle que x^2=0 mod 108 ou 2018

[nix64]

les ?????? parce que dans le cours la proposition la voila

et dans le tableau comment on eu les congruences modulo 4 de x² c est on utilisant cette propriété ; par exemple
x=3 modulo 4 =>x²=9 modulo 4 = 1 modulo 4

[aviateur]

Rebonjour
Je ne vois plus ton tableau dans Z/4Z. C'est pas grave:
Tu me donnes des propriétés ici qu'on utilise pas pour l'implication réciproque.
Ce que je dis c'est tu as fait la table des carrés dans Z/4Z (i.e modulo 4). Et je crois que tu ne comprends là où je veux en venir. Donc je précise:
4 n'est pas grand , la table des carrés c'est vite fait:
0----->0^2=0
1------>1^2=1
2------->2^2=0
3-------->3^2=1

Cette table nous dit (clairement ) que x^2=0 implique x=0 ou x=2 (mod 4). (et donc c'est équivalent)
Je ne vois pas pourquoi je vais faire un raisonnement pour une évidence.
Par contre la même question dans Z/108Z ou Z/2018Z ou Z/2017Z c'est plus la même chose. Car faire une table ne peut se faire qu'avec une machine (ou alors faut être maso). Alors dans ce cas un raisonnement est presque inévitable.

[nix64]

excusez moi j utilise le table et tous le monde l utilise le table et on trouve les solution mais comment on a eu ce table on a utiliser la proposition qui ne donne qu une implication le sens directe excuser moi je ne suis pas entrain d insister je pose la question autrement pourquoi le table donne l équivalence alors que c est une implication qui nous a donné le table
si on veux résoudre l équation x²=0 modulo 4 est ce qu il ya une méthode sans table ??
regardez par exemple le table dit que x²= 3 modulo 4 n as pas de solution ou x² = 2 modulo 4 n as pas de solution il y a certainement une explication sans table
pour résumer 1/ pourquoi le table donne l équivalence ?
2/est ce qu on peux résoudre x²= 0 modulo 4 sans table

[Lostounet]

Salut,

Quand tu résous x^2=0 [4] si tu traites absolument tous les cas avec un tableau tu as bien une équivalence.


En effet tu sais que tout entier relatif x sera soit congru à 0, soit à 1 soit 2 soit 3.
Le tableau te montre que si x = 0 ou x= 2 alors x^2=0 [4].
Le tableau te dit aussi que réciproquement, (si tu caches la première ligne) que si x^2 est égal à 0 alors x=0 ou bien x=2 modulo 4.

En gros tu établis tous les cas possibles et tu sais exactement retrouver toute l'information sur x si tu connais x^2 et récriproquement.

On n'a pas dans la méthode utilisé la proposition du cours qui dit que si a=b alors ha=hb.
On a juste pris chaque x et calculé x^2 modulo 4 tout simplement.

Si tu penses qu'on a utilisé la proposition pourrais tu dire qui est h qui est a et qui est b?

[nix64]

dans la proposition du cours je parlais de si a=b[n] alors [b] pour tout entier positif m merci beacoup donc le fait qu ona balayé tout Z qui garantie l équivalence est ce que on peux la resoudre cette equation sans passer par le table ?

[Lostounet]

dans la proposition du cours je parlais de si a=b[n] alors [b] pour tout entier positif m merci beacoup donc le fait qu ona balayé tout Z qui garantie l équivalence est ce que on peux la resoudre cette equation sans passer par le table ?

À la rigueur on a utilisé:
"x=1" implique "x^2=1^2" pour calculer x^2 dans chaque cas.

On n'a jamais utilisé la réciproque de cette propriété comme tu as pu le croire. On n'a jamais dit que:

x^2=0^2 "alors" x=0

Ce qui n'est pas vrai ici et en plus ce n'est pas exactement la récriproque de ta proposition. La récriproque serait:
"si pour tout m a^m=b^m" alors a=b ce qui est bien sûr vrai en prenant m=1.
On n'a pas utilisé ça ici: on n'a pas x^m = 0^m pour tout m, juste pour m=2.