Conjecture

[Gwenrouault]

Bonjour es ce que quelqu'un pourrait m'expliquer comment on écrit une conjecture puis comment ont la démontre
Merci beaucoup

[aviateur]

Bonjour
Question bizarre!!
Des conjectures il y a en autant qu'on veut.
De plus si on savait comment on les démontre alors je pense qu'on serait dans un monde tout à fait différent.
Si toutes les conjectures sont démontrables alors c'est quoi une conjecture?
As-tu entendu parler de la conjecture de Syracuse évoquée assez souvent sur ce forum?

[Sa Majesté]

La question est liée à ce sujet
https://www.maths-forum.com/college-primaire/aide-pour-conjecturer-t202775.html

[aviateur]

Ah oui mais il faut deviner!

[mathelot]

Les mathématiques sont gouvernées par la Logique. Quelques fois, on peut se dire "tel résultat est "logique""
le prendre comme conjecture et essayer de le démontrer.
Quand on émet une conjecture, c'est comme si l'on écrivait l'énoncé d'un problème et ensuite que l'on résolvait cet énoncé. Ce qui change de la pratique habituelle, c'est que l'on écrit, et les questions, et les réponses à ces questions.

[mathelot]

Concernant la Logique, on a fait très tôt par exemple, l'hypothèse qu'un polynôme de degré n admet n racines.
On a fait cette conjecture car c'était la plus simple que l'on puisse envisager.

Pour résoudre une conjecture, il y a entre autres , deux méthodes:
- généraliser le problème, ce qui peut conduire à simplifier les hypothèses (*)
- s'inspirer de ce qui se fait ailleurs en mathématiques. (**)

Par exemple , pour (*), les chercheurs qui travaillent sur la conjecture de Syracuse ont montré que certains énoncés semblables à celle-ci étaient indécidables (résultat dû à Conway)
Parce que c'est le drame de certains chercheurs qui passent toute une vie à essayer de démontrer une hypothèse indémontrable.
Par exemple, c'est ce qui est arrivé à G.Cantor avec l'hypothèse du continu.

[mathelot]

Comme exemple de conjecture, il y a le grand théorème de Fermat (par opposition au petit théorème de Fermat qui est vû en Terminale) qui dit:
pour il n'existe pas de solution en nombres entiers à l'équation
d'inconnues x,y,z hormis les solutions triviales (1;0;1);(0;1;1).
Ce résultat est resté une conjecture pendant deux cents ans et a été résolu à la fin du 20ième siècle
par Andrew Wiles. Ils ont démontré que s'il existait une solution à cette équation, alors une fonction modulaire
aurait des propriétés impossibles.
Dans les autres conjectures célèbres, il y a la quadrature du cercle, qui a été émise dans l'Antiquité et résolue à la fin du 19ième siècle par Wentzel (sauf erreur)

[mathelot]

je te conseille de lire cet article de Wikipédia sur la quadrature du cercle et de revenir poser
des questions sur le forum s'il y a des choses que tu ne comprends pas.

https://fr.wikipedia.org/wiki/Quadrature_du_cercle

[mathelot]

On peut également démontrer une conjecture à l'aide de l'ordinateur , ce qui a été fait par exemple avec le théorème des quatre couleurs.