Théorie de la mesure

[epanadiplose]

Hello,

Voilà, j'essaie de faire le sujet de partiel de l'an dernier en théorie de la mesure mais je bloque sur un exo :

Soit un ouvert et soit de classe .
Soit telle que .
Montrer que .
Indications :1) On pourra commencer par étudier le cas où A est d'adhérence est compacte.
2) Penser au théorème des accroissements finis.

Alors donc du coup, j'ai suivi l'indication :
Dans le cas où A est d'adhérence compacte :
1) tel que .

Soit . W est un ouvert connexe contenant A et inclus dans .
Donc, en particulier, l'adhérence de W est compacte car fermée bornée dans .
D'après le TAF, , avec car compact.
2) A est de mesure nulle donc cubes tels que et
De plus, d'après ce qui précède, est contenu dans un cube de volume inférieur ou égal à .
Donc, et .
Comme c'est vrai pour tout , f(A) est de mesure nulle.

Déjà, première question : est-ce que ce que j'ai fait est correct ?
Et après, comment faire si A n'est plus d'adhérence compacte ?

[Ben314]

Salut,
Sur le principe, c'est parfaitement O.K.
Par contre la rédaction, c'est pas super génial : dans ta partie 1); tes boules de centre x et de rayon r_x ne servent absolument à rien : tout ce que tu as à dire, c'est que A est contenue dans une boule fermée de centre 0 et de rayon R sur laquelle la norme de la différentielle de f est bornée (par compacité).

Sinon, concernant le cas où A n'est pas borné, il te suffit de dire que A est la réunion des pour conclure vu que les sont eux bornés (et de mesure nulle) et que la mesure de Lebesgue est dénombrablement additive.

[epanadiplose]

En fait, c'est ce que j'avais écrit au départ. Seulement, pourquoi une telle boule serait forcément incluse dans U (l'ouvert de départ sur lequel est défini f) ?
L'idée qui était derrière tout ça était de trouver un ouvert convexe (nécessaire pour appliquer le TAF) contenant A et inclus dans U, dont l'adhérence était compacte (pour que la différentielle y soit bornée).

Ok, merci

[Ben314]

Oui, tu as raison : j'avais pas trop fait gaffe au fait que f n'est définie que sur U et pas sur R^n tout entier.
Mais dans ce cas, ta prose ne va pas non plus : déjà la réunion W des boules B(x,r_x), il n'y a aucune raison que ce soit connexe et ensuite, autant l'adhérence de W est effectivement un compact de R^n (car fermé et borné), autant il n' y'a pas de raison particulière que cette adhérence soit contenu dans U donc tu peut pas dire que df est bornée sur cette adhérence.

Bref, à mon avis, pour la partie 1, je pense qu'il faut considérer le cas où l'adhérence de A (dans R^n) est un compact contenu dans U.
Ensuite, pour la partie 2, on regardera comment traiter le cas général où A est une partie quelconque (de mesure nulle) contenue dans U.

[epanadiplose]

Ok. En fait sur mon dessin j'avais représenté A comme un convexe, du coup W l'était aussi...
Mais alors du coup comment construire cet ensemble W ? Je vois "intuitivement" qu'il existe (je veux dire, sur un dessin, ça se voit), mais je n'arrive pas à l'écrire rigoureusement

[Ben314]

En supposant bien que l'adhérence de A est un compact contenu dans U :
Comme est un compact disjoint du fermé la distance est (et est atteinte).
Si on pose (*) alors est un compact de contenu dans donc on peut considérer le max de sur . De plus, vu que toute boule de rayon centré en un point de est à la fois convexe et contenue dans ce compact , tu va pouvoir appliquer ton raisonnement avec les cubes (à condition de prendre des cubes de taille suffisamment petite).
Et ça va permettre de régler le problème dans ce cas là (où l'adhérence de A est un compact contenu dans U).

(*) En fait, ce compact , c'est l'adhérence de ce qui correspond bien à l'idée que tu avait, sauf qu'il fallait "mieux" maîtriser les rayons des boules pour que le bidule marche.

Voit tu comment faire ensuite le cas général avec A quelconque ?
L'idée est dans mon post, mais il faut un peu changer la définition des pour que leur adhérence soit un compact contenu dans U.

P.S. Et si tu ne voit pas bien en quoi l'hypothèse "l'adhérence de A est un compact contenu dans U" est importante, regarde le cas où U c'est le disque ouvert de centre 0 et de rayon 1 dans C=R^2 et où A c'est le segment ]-1,1[ : tu ne risque pas "d’intercaler" un compact entre A et U donc il est tout à fait possible que ne soit pas borné sur A.

[Poklo]

Bonjour
Par curiosité, pourais-je avoir acces au sujet ?

[chikhanaz]

Salut,
Sur le principe, c'est parfaitement O.K.
Par contre la rédaction, c'est pas super génial : dans ta partie 1); tes boules de centre x et de rayon r_x ne servent absolument à rien : tout ce que tu as à dire, c'est que A est contenue dans une boule fermée de centre 0 et de rayon R sur laquelle la norme de la différentielle de f est bornée (par compacité).

Sinon, concernant le cas où A n'est pas borné, il te suffit de dire que A est la réunion des pour conclure vu que les sont eux bornés (et de mesure nulle) et que la mesure de Lebesgue est dénombrablement additive.

Bonjour je me permet de te contacter afin de savoir stp si tu peux m'aider pour un devoir de math svp merci

[epanadiplose]

En supposant bien que l'adhérence de A est un compact contenu dans U :
Comme est un compact disjoint du fermé la distance est (et est atteinte).
Si on pose (*) alors est un compact de contenu dans donc on peut considérer le max de sur . De plus, vu que toute boule de rayon centré en un point de est à la fois convexe et contenue dans ce compact , tu va pouvoir appliquer ton raisonnement avec les cubes (à condition de prendre des cubes de taille suffisamment petite).
Et ça va permettre de régler le problème dans ce cas là (où l'adhérence de A est un compact contenu dans U).

(*) En fait, ce compact , c'est l'adhérence de ce qui correspond bien à l'idée que tu avait, sauf qu'il fallait "mieux" maîtriser les rayons des boules pour que le bidule marche.

Ok. On a bien que K est un compact contenant A et inclus dans U, je suis d'accord. Mais pourquoi serait-il forcément convexe ? (pour l'inégalité des accroissements finis, il faut obligatoirement un convexe, non ?).

P.S. Et si tu ne voit pas bien en quoi l'hypothèse "l'adhérence de A est un compact contenu dans U" est importante, regarde le cas où U c'est le disque ouvert de centre 0 et de rayon 1 dans C=R^2 et où A c'est le segment ]-1,1[ : tu ne risque pas "d’intercaler" un compact entre A et U donc il est tout à fait possible que ne soit pas borné sur A.

Ok, merci pour l'exemple, c'est plus clair maintenant.

Voit tu comment faire ensuite le cas général avec A quelconque ?
L'idée est dans mon post, mais il faut un peu changer la définition des pour que leur adhérence soit un compact contenu dans U.

Pas vraiment non
Parce que justement, dans l'exemple que tu m'as donné ci-dessus, dès que l'on passe à l'adhérence, on sort de U...

[epanadiplose]

Bonjour
Par curiosité, pourais-je avoir acces au sujet ?

Bonjour,
J'ai voulu faire une photo mais je n'arrive pas à insérer d'image sur le forum

[Ben314]

Ok. On a bien que K est un compact contenant A et inclus dans U, je suis d'accord. Mais pourquoi serait-il forcément convexe ? (pour l'inégalité des accroissements finis, il faut obligatoirement un convexe, non ?).

Il n'y a aucune raison particulière que K soit connexe (*), mais ça n'a aucune importance vu que l'inégalité des accroissement fini, tu ne va pas t'en servir avec deux points quelconques de K, mais avec deux points situés dans un même (petit) cube. Et ton petit cube, lui, il est évidement connexe (et même convexe) et s'il est contenu dans K (ce qui va être le cas s'il rencontre A et qu'il est de diamètre ) alors sur le cube et ça te permet d'applique l'inégalité des accroissement finis sur ce cube et de conclure en ce qui concerne la mesure le l'image du cube.

Parce que justement, dans l'exemple que tu m'as donné ci-dessus, dès que l'on passe à l'adhérence, on sort de U...

Oui, mais ce là, est ce que tu peut pas l'obtenir comme réunion dénombrable d'ensemble qui eux auraient une adhérence contenue dans U ? si oui, ben tu conclue vu qu'une mesure c'est dénombrablement additif, donc une réunion dénombrable d'ensemble de mesure nulle, ça reste de mesure nulle.

[epanadiplose]

Il n'y a aucune raison particulière que K soit connexe (*), mais ça n'a aucune importance vu que l'inégalité des accroissement fini, tu ne va pas t'en servir avec deux points quelconques de K, mais avec deux points situés dans un même (petit) cube. Et ton petit cube, lui, il est évidement connexe (et même convexe) et s'il est contenu dans K (ce qui va être le cas s'il rencontre A et qu'il est de diamètre ) alors sur le cube et ça te permet d'applique l'inégalité des accroissement finis sur ce cube et de conclure en ce qui concerne la mesure le l'image du cube.

Ok, ça marche. Merci !

Oui, mais ce là, est ce que tu peut pas l'obtenir comme réunion dénombrable d'ensemble qui eux auraient une adhérence contenue dans U ? si oui, ben tu conclue vu qu'une mesure c'est dénombrablement additif, donc une réunion dénombrable d'ensemble de mesure nulle, ça reste de mesure nulle.

Alors le A de l'exemple, oui : .
Mais dans le cas général, je ne vois pas...

[aviateur]

Bonjour
Je n'ai fait que survoler les messages précédent alors je ne sais pas si ma remarque répond à ta question.
Pour y répondre, ne faut-il pas utiliser le fait qu'un ouvert U de R^n peut s'écrire comme la réunion dénombrable de pavés bornés et fermés?

[Ben314]

Oui, c'est exactement ça qu'il faut faire.
Et dans le cas général, ben c'est la même chose : il faut "virer" les éléments de A qui sont trop prés du bord de U (ainsi que ceux qui sont trop loin de l'origine pour que ça reste borné).
Bref, tu pose .
Reste à vérifier que, est un compact contenu dans U et que .