DL -> Ecriture du reste en cas d'opérations algébriques

[Deura]

Bien le bonjour mes chers,

J'espère que tout va bien de votre côté et que le soleil perce tranquillement les nuages.
De mon côté, que de brouillard !

Exemple : Le DL de arctan(x) en 0 à l'ordre 3 est tout simplement :
Tout va bien.
Mais maintenant, le DL de 2 arctan(x) en 0 à l'ordre 3, est-ce : ou ou bien même [/tex] ou ???

Ma question vaut pour toutes les opérations algébriques faites avec les DL ; le reste est-il modifié, ou reste t-il le même ?

Merci pour vos réponses précises et complètes qui inonderont ce poste

[pascal16]

quelque chose de négligeable devant 2x³ l'est aussi devant x³

(2x)³ vaut 2 x³ ?

[aviateur]

Bonjour
Quand on ne sait pas avec les "petits o" on revient aux définitions

o(2x^2)=2 x^2 \epsilon(x) avec la fonction epsilon qui tend vers 0.

Donc o(2x^2)=2 x^2 \epsilon(x)=x^2 \times 2 \epsilon (x)=x^2 \epsilon_1 (x)
où j'ai posé \epsilon_1 (x)=2\epsilon (x) .
Comme \epsilon (x) tend vers 0, \epsilon_ (x) aussi.
On a bien o(2x^2)=o(x^2)

[Deura]

Okay, donc si j'ai bien compris aviateur, il n'existe que des petit rond de la forme o(x^n) ? Jamais on ne trouvera de chose plus complexe

[aviateur]

Oui et non.
Quand tu fais un calcul de développement limité, dans la pratique tu simplifie pour arriver à un unique terme complémentaire de la forme o(x^n).
Mais pendant le calcul tu peux te retrouver provisoirement avec avec des petits o plus compliqués comme par exemple o(sin(x)^3) mais tout se gère en revenant à la définition en cas de doute.
Par exemple ici o(sin(x)^3)=o(x^3) (qd x->0)

[Deura]

Oki, merci aviateur pour tes réponses rapides et utiles