Neuf et carré

[MMu]

On considère 9 points dans un carré de côté 1.
Peut on toujours trouver 3 points qui forment un triangle dont la surface ne dépasse pas ?

[LB2]

Euh... oui si les points sont très proches?
Tu es sur qu'il ne manque pas une hypothèse dans l'énoncé?

[MMu]

Euh... oui si les points sont très proches?
Tu es sur qu'il ne manque pas une hypothèse dans l'énoncé?

Et si les points ne sont pas "très proches" ?! . Il me semnle évident qu'il s'agit du cas général : quelques soient 9 points ..

[LB2]

Je viens de comprendre l'énoncé

[LB2]

On raisonne par l'absurde. On suppose que quelque soit le triangle considéré, sa surface est supérieure à 1/9.
On cherche à disposer les 9 points de façon à maximiser la surface du plus petit triangle.
Intuitivement, on commence par prendre chaque sommet du carré, et placer les 5 points restants.

Le fait que tous les triangles aient une surface >1/9 signifie qu'on doit "découper" le carré en au plus 8 triangles, d'après le principe des tiroirs de Dirichlet. Cela ne me semble pas possible avec 9 points mais c'est pas facile de le montrer (raisonner avec l'enveloppe convexe des points? )

[LB2]

j'ai une question importante : "ne dépasse pas" , inégalité large ou stricte? J'ai une configuration intéressante en prenant 8 points aux bords du carré aux coins, aux coordonnées 1/3 ou 2/3 alternativement, et le centre du carré.

Les triangles sont "assez grands" sauf un type qui est de surface 1/12, cette configuration n'est donc pas un contre exemple.

J'aurais tendance à répondre "oui" à la question en général.

[LB2]

J'arrive à montrer que (quelque soient 9 points dans un carré unité, on peut trouver 3 points formant un triangle de surface < 1/8 )

avec le principe de Dirichlet appliqué aux 4 bandes de largeur 1/4, l'une contenant forcément au moins 3 points

[Imod]

Déjà strictement inférieur à 1/8 je ne suis pas sûr alors pour 1/9 je demande à voir

Imod