Dual de l'espace des suites p-sommables

[lisitsa]

Salut,

J'ai trouvé dans un livre un exo dont le but est de montrer que le dual de l'espace des suites p-sommables (noté dans la suite ) est isomorphe isométriquement à , où q est l'exposant conjugué de p (i.e. ), pour .
On utilise la convention lorsque p=1.

On traite d'abord séparément le cas p=1, puis le cas .
A chaque fois, on introduit avec
On montre que T bien définie, linéaire, isométrique (donc continue et injective) et surjective.

La question que je me pose maintenant, c'est quid du cas ?
J'ai tenté d'appliquer le même raisonnement, et c'est au moment de prouver la surjectivité que ça coince...
(Pour montrer que T bien définie, linéaire et isométrique ça va.)
En gros, voilà ce que ça donne :
Soit .
On cherche tel que , .
On a nécessairement où est la suite qui vaut 1 au rang k et 0 sinon.
Maintenant, reste à montrer que ...
Est-ce encore vrai dans ce cas ? (Si oui, comment finir de prouver que T est surjective ?)
Sinon, y aurait-il un contre-exemple facile à voir ?

[aviateur]

Bonjour
Le dual de n'est pas
L'exemple à considérer est une forme linéaire définie pour les suites de qui admettent une limite et la prolonger sur l'espace entier.

[lisitsa]

Merci !
Si j'ai bien compris, cet exemple montre que l'application T introduite précédemment n'est dans ce cas pas surjective, c'est bien ça ?
(En prenant, pour tout n, une suite telle que et si , on a nécessairement et donc (application constante égale à 0), ce qui est absurde).

[Ben314]

Oui, c'est ça.
Après, si ça t’intéresse ces histoire de dualité,
1) Tu peut considérer le sous espace de formé des suites de limite nulle (on le note en général ).
Montre que c'est bien un espace de Banach dont le dual topologique est .
2) Par contre, si tu veut avoir une "idée" de qui c'est le dual de , ça demande à avoir vu la (très jolie) construction du compactifié de Stone-Čech d'un espace topologique ou, au minimum, cette construction dans le cas discret ce qui correspond à la notion d'ultrafiltre sur un ensemble qui est extrêmement utile dans certain domaines de la topologie (en particulier vu son lien avec la notion de compacité).