Problèmes ...

[ETINCELLE19]

Bonjour tout le monde.
Voici une série d'exercices de difficultés variable composée de quatres problèmes. Le premier est un exercice de géométrie, puis le deuxième est un problème qui se base sur le raisonnement par récurrence et enfin le troisième et le quatrième sont des exercices d'arithmétique. Ces exercices sont proposées aux olympiades de mathématiques.

1er :
Soient ABC un triangle, O le centre de son cercle circonscrit (C) et D le point diamétralement opposé à A. La droite tangente à (C) au point D coupe la droite (BC) en un point P. On considère le cas où la droite (OP) coupe les segments [AB] et [AC] respectivement aux points N et M.
Montrer que : OM = ON.


2ème :
On suppose que les nombres entiers relatifs sont colorés en rouge et bleu selon les deux règles suivantes
1. le nombre 1 est de couleur rouge;
2. si deux nombres a et b (pas nécessairement distincts) sont de couleur rouge, alors les nombres et sont de couleurs différentes.
Quelle est la couleur du nombre 2018?

3ème :
On considère le nombre entier naturel N dont l’écriture décimale est :

avec un entier naturel non nul.
Montrer que le nombre N est un carré parfait.

4ème
Soient m, n et p des entiers naturels non nuls tels que . Résoudre l’équation d’inconnues les entiers naturels non nuls x, y, z et t.

[steph7866]

Pour le 4ème:


soit

on en tire

T = t-1 = r1
Z = z-1 = r2
Y = y-1 = r3
x = 1 - mr3 - nr2 - pr1

[WillyCagnes]

bjr
une solution evidente x=y=z=t=1

[beagle]

sinon c'est rigolo mais j'ai pas le temps,
la sequence
1 est rouge donc 0 est bleu
2 est rouge je crois aussi
et la sequence 1bleu deux rouges 1 bleu deux rouges semble fonctionner…
...BRRBRRBRRBRRBRRB...

[aymanemaysae]

Bonjour;

Exercice n° 3 .







.

[steph7866]

problème 2:
entiers relatifs donc 0 en fait partie

donc 0 est bleu sinon a=1 et b=0 donne 1 et 1 de couleur différentes

a = 1 et b = 1 donne 0 et 2 différents donc 2 est rouge
a = 2 et b = 1 donne 3 et 1 de couleurs différentes donc 3 est bleu
a = 2 et b = 2 donne 4 et 0 de couleurs différentes donc 4 est rouge
et on trouve la suite proposée par beagle BRRBRRBRRB...
comme 2018 vaut 2 modulo 3, 2018 est rouge

[steph7866]

Bravo à aymanemaysae, j'étais parti sur quelque chose d'équivalent mais sans arriver au bout du calcul.

[infernaleur]

Pour la 4)
x+my+nz+pt = 2018 <=> x+my+nz+pt=m+n+p+1 <=> x+m(y-1)+n(z-1)+p(t-1)=1
Or x>=1 donc forcément on doit avoir m(y-1)+n(z-1)+p(t-1)=0 qui est possible que si y,z,t=1 car m,n,p sont positifs donc la seule solution est :
x=1
y=1
z=1
t=1

[chan79]

Bonjour
Ce serait plutôt à mettre dans la section "Défis et Enigmes"
Merci

[ETINCELLE19]

Bonjour
Ce serait plutôt à mettre dans la section "Défis et Enigmes"
Merci

Salut;
D'accord Chan79 je vais le mettre .

[aviateur]

Bjr
Pour faire l'exercice 1 une méthode analytique ça marche mais avec des calculs un peu fastidieux.
J'aurai préféré une méthode purement géométrique mais sans avoir réussi . Pourtant dans la figure il y a un tas de relations à écrire: En introduisant le point H intersection de (AD) et (BC) ainsi que I et J les points d'intersections de (AB) et (AC) avec la tangentes. On a des birapports à écrire (ceux obtenus avec les points issus du point A et ceux issus du point P). Il y a aussi l'application du théorème de Ménélaüs.
Est ce que tu as une solution autre que analytique? Ou alors quelqu'un peut-il en donner une?

[Ben314]

Salut,
J'ai un peu cherché en prenant le problème "à l'envers" : on se donne un diamètre [AD] d'un cercle de centre O, un point P de la tangente en D au cercle et une droite passant par P [qui coupe le cercle].
Partant de là, on construit les points B,M et C,N de façon "symétrique" et le but est de montrer que cette "symétrie" fait que OM=ON (par exemple en arrivant à exprimer OM uniquement en fonction des points A,O,D,P et de la droite )

Sauf erreur, en introduisant le projeté orthogonal E de O sur , les triangles DOM et BED sont semblables donc . Et comme on a évidement , ça prouve que .

Sauf que je trouve pas de démonstration simple et purement géométrique du fait que DOM et BED sont semblables . . .

[ETINCELLE19]

Salut, je vous propose ces réponses :

Problème.01 (.....)

Figure originale :
https://ibb.co/QNDY2GC
Figure après insertion de points :
https://ibb.co/mBStjBg

_________________________________________________________________________________________________
Soit I le point d'intersection de (BC) et (AD) ;
Soit H la projection orthogonale du point O sur (BC) ;
La droite passante par C est parallèle à (OP) coupe (AD) en E et (AB) en F ;
__________________________________________________________________________________________________

Puisque OBC est un triangle isocèle en O, alors H est le milieu de [BC] ;
Et puisque OPD et OPH sont des triangles rectangles et ont une hypoténuse commune, alors ils sont inscrits dans le même cercle dont le diamètre est cette hypoténuse, dans ce cercle les angles et circonscrient le même arc :
Donc, ;

Et on a et (PH) les coupe, d'où : ;

On on déduit que ; Donc ECHD est un quadrilatère inscriptible, d'où ;
Et puisque (car les deux angles inscrient le même arc dans le cercle circonscrit),
alors : .

Conclusion : ;

En utilisant cette conclusion dans le triangle CFB tel que H est le milieu de [BC], on on déduit que E est le milieu de [CF], d'où ;

On dispose de ce résultat : ; Maintenant on utilise le théorème de Thalès dans AEC et AEF on trouve :
et . Donc ;

Et puisque alors . (FIN)

[chan79]

Bien vu !