Salut, je vous propose ces réponses :
Problème.01 (.....)
Figure originale :
https://ibb.co/QNDY2GCFigure après insertion de points :
https://ibb.co/mBStjBg_________________________________________________________________________________________________
Soit
I le point d'intersection de (
BC) et (
AD) ;
Soit
H la projection orthogonale du point
O sur (
BC) ;
La droite passante par
C est parallèle à (
OP) coupe (
AD) en
E et (
AB) en
F ;
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Puisque
OBC est un triangle isocèle en
O, alors
H est le milieu de [
BC] ;
Et puisque
OPD et
OPH sont des triangles rectangles et ont une hypoténuse commune, alors ils sont inscrits dans le même cercle dont le diamètre est cette hypoténuse, dans ce cercle les angles
et
circonscrient le même arc
:
Donc,
;
Et on a
et (PH) les coupe, d'où :
;
On on déduit que
; Donc
ECHD est un quadrilatère inscriptible, d'où
;
Et puisque
(car les deux angles inscrient le même arc dans le cercle circonscrit),
alors :
.
Conclusion :
;
En utilisant cette conclusion dans le triangle
CFB tel que
H est le milieu de [
BC], on on déduit que
E est le milieu de [
CF], d'où
;
On dispose de ce résultat :
; Maintenant on utilise le théorème de Thalès dans
AEC et
AEF on trouve :
et
. Donc
;
Et puisque alors . (FIN)