EQUATION FONCTIONELLE
Réponses à toutes vos questions après le Bac (Fac, Prépa, etc.)
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Aleatoire
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par Aleatoire » 15 Déc 2018, 14:36
Bonjour,
j'ai besoin d'aide pour cet exercices ( juste des idées ou pistes probables)
Soit f R-->R tq f(x+y)=f(x)+f(y) ( x et y dans R)
On pose a=f(1)
1/ Montrer que pour tout x dans Q, f(x)=ax
2/ On suppose f bornéé au v(0) montrer que pour tout x dans R f(x)=ax
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mathelot
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par mathelot » 15 Déc 2018, 14:38
bonjour,
n désigne un entier naturel.
on commence par calculer f(0).
puis on calcule f(n) , par récurrence sur l'entier n.
puis calculer f(-n).
puis, si p est un entier relatif et q un entier naturel
calculer
en calculant
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Aleatoire
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par Aleatoire » 15 Déc 2018, 15:04
mais on ne peut pas calculer f(p) par la formule obtenue par recurrence puisqu'elle est juste seulement pour les elements de N
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mathelot
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par mathelot » 15 Déc 2018, 15:08
Aleatoire a écrit:mais on ne peut pas calculer f(p) par la formule obtenue par recurrence puisqu'elle est juste seulement pour les elements de N
entretemps, on calcule f(-n) où n est un entier naturel. comme ça, on a la formule pour tout n dans
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Aleatoire
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par Aleatoire » 15 Déc 2018, 15:55
malheureusement j'ai pas pu arrivé
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mathelot
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par mathelot » 15 Déc 2018, 16:31
tu en es où ? as tu calculé f(0) ?
pour calculer f(-n), écrire de deux façons
f(n+(-n))
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Aleatoire
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par Aleatoire » 15 Déc 2018, 16:56
j'ai reussi la premiere question , je parle de la deuxieme
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mathelot
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par mathelot » 15 Déc 2018, 19:38
soit
,
on va montrer que
, i.e, que f est
-linéaire.
d'où
écrivons que f est bornée au voisinage de 0 (zéro):
tels que
quitte à prendre un alpha plus petit et un M plus grand, on peut supposer que
et
sont des rationnels.
Comme f est Q-linéaire,pour
posons
soit
en revenant à la notation "x"
(*)Soit
il existe une suite de rationnels
de limite x.
on a l'inégalité
d'après l'inégalité (*):
(*)pour n assez grand,
donc pour n assez grand
donc pour tout x réel,
f(x)=ax
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