Groupe & Z/nZ

[Koril]

Bonjour,

j'aimerais trouver le nombre de solution de l'équation x^5 = 1 dans Z/75Z

Il y a déjà 1 comme solution évidente de l'équation et je cherche le reste dans le groupe multiplicatif (Z/75Z)*
2
on a (Z/75Z)* qui est isomorphe à (Z/5²Z)*x(Z/3Z* qui est lui-même isomorphe à (Z/5*(5-1))x(Z/2Z) = (Z/20)x(Z/2Z)

On cherche (a,b) appartenant à (Z/20Z,+)x(Z/2Z,+), on a ord((a,b)) = ppcm(ord(a),ord(b)) = 5 donc
(ord(a),ord(b)) appartient à l'ensemble {(1,5), (5,1),(5,5)} ce qui nous fait au total 4 solutions au total avec la solution évidente précédente. Je n'en trouve que 4 alors qu'il faut en trouver 5 si on se fie à Wolfram Alpha: https://www.wolframalpha.com/input/?i=x ... D+1+mod+75

merci d'avance.

[Ben314]

Salut,
Je comprend pas ce que tu bricole avec tes ord(...) et tes ppcm sortis de nulle part (*)
Ce qu'il y a de sûr, c'est que le groupe multiplicatif est effectivement isomorphe au groupe additif et que l'équation dans le premier est équivalente à dans le second, c'est à dire à et soit et .
Donc les solutions sont .

Ensuite, un des générateurs de est (la classe de) 2 et, comme c'est aussi un générateur de .
Donc les 5 solution dans correspondent dans aux 5 solutions

qui correspondent dans aux 5 solutions


(*) Surtout quand ça se termine en disant qu'une des "solution" doit contenir un qui soit d'ordre 5 !!!!