Olympiades

[mouadbouski]

Bonsoir,
Je me trouve coincé dans ces exercices. J'aimerais une aide.
https://ibb.co/4gBV86x

[aviateur]

Bonjour
Pour l'exercice 1 tu poses u=1/x et v=1/y pour voir que u+v=1.

[Ben314]

Salut,
Le 1), on peut sûrement chercher des méthodes subtiles, mais même avec zéro réflexion, on y arrive avec que et exclusivement que du calcul bébète :
Ce que l'énoncé te demande de faire, c'est de déterminer les valeur de (dans ) telles que le système

possède au moins une solution , c'est à dire ssi il y a un et tel que vérifiant
soit (et quelconque) ou bien
de discriminant qui conduit à une solution en uniquement lorsque .

[aviateur]

Bonjour
Ok il y a un cas particulier avec 1/x+1/y=-2.
Voici comment j'ai fait avec des calculs simples.
On a
On pose s=u+v et p=uv donc

Ou encore

Mais on a toujours
Donc
Donc s=1 ou s=-2.
Si s=-2, p=s^2/4=1 dans ce cas effectivement x=y=-1 convient.
Mais u=1-v donne u^3+(1-u)^3+3 u (1-u)-1=0 tout de même.
Il y a donc une infinité de couple solutions qui donne u+v=1 i.e 1/x+1/y=1.

[aviateur]

Rebonjour
Pour l'exercice 2 en utilisant les similitudes on peut montrer que le rapport de l'aire du triangle
CBP par l'aire du triangle PCD est égal au rapport des longueur des cotés du parallélogramme ABCD. Ce qui implique que les hauteurs de ces deux triangles (hauteurs qui s'appuient sur les côtés du #) sont égales [CP) est donc bissectrices de l'angle BCD

[Ben314]

Pour le 2), à froid, je vois pas de façon immédiate de méthode géométrique (alors qu'il y en a forcément une).
Mais avec de l'analytique, c'est plutôt simple :
On prend un repère avec unitaires tels que dans ce repère on ait et alors ; ; et ce qui donne ce qui montre que est sur la première bissectrice du repère donc sur la bissectrice de l'angle (vu que les deux vecteur du repère ont même norme).

[steph7866]

Exercice 1:
posons on arrive à

Cette équation admet une racine réelle (merci Sagemath)

Tout les couples ou sont donc solutions.

Les autres racines sont et qui donnent -1 pour k=1, aux solutions ci-dessus il faut ajouter le couple (-1,-1)

[chan79]

salut
une variante pour le 1, un peu longue
on divise tout par et on pose et

L'égalité initiale devient
Il faut donc trouver toutes les valeurs possibles de .
On factorise:

Le premier facteur donne comme possibilité
Pour le second facteur, on pose et

soit après simplification
Le second facteur est nul seulement dans le cas: et soit et
ce qui donne
est l'équation d'une conique réduite au point (-1;-1)
Exemples
Pour la solution de l'équation initiale on a
Pour la solution on a

Remarques concernant geogebra (version Geogebra Classic 5.0.516.0-d):
Lorsqu'on entre l'équation , il n'affiche que la droite alors qu'il devrait mettre aussi le point (-1,-1)
Lorsqu'on entre , il met bien ce point

[LB2]

moi j'aime bien la solution de chan