Trouver une pente de droite tangente en fonction d'un point

[Remhouse]

Bien le bonjour,

J'en suis à effectuer un numéro concernant la pente d'une droite tangente au point (1,1).

L'équation va comme suit : x^4+y^4=2xy

J'ai dérivé en partant de x^4+y^4-2xy=f(x) et j'obtiens l'équation 5-2yx+y^4

Hors, je ne crois pas qu'elle corresponde à une tangente qui soit une droite. Je me pose des questions comment en arriver à obtenir une pente de droite tangente à l'équation initiale afin d'obtenir la pente de cette droite.

Bien à vous,

Remhouse

[Ben314]

Salut,

L'équation va comme suit : x^4+y^4=2xy
J'ai dérivé en partant de x^4+y^4-2xy=f(x) et j'obtiens l'équation 5-2yx+y^4

Je sais pas ce que tu as vu en cours concernant ce type de courbe, mais ta façon de procéder est sans queue ni tête.
L'énoncé te parle de l'ensemble des points M:(x,y) du plan tels que x^4+y^4=2xy où bien évidement, la condition finale pour savoir si un point appartient ou pas à l'ensemble en question dépend des deux coordonnées x et y du point.
Et là dessus, toi tu pose f(x)=x^4+y^4-2xy avec une fonction d'une seule variable x où le seul sous entendu possible, ben c'est que tu raisonne pour un certain y fixé ce qui n'est bien évidement pas interdit, mais faut évidement comprendre ce que ça signifie.
Et ce que ça signifie, c'est que
- En fait tu ne regarde que les points M:(x,y) qui ont une certaine ordonnée y fixée, c'est à dire ceux situés sur une certaine droite horizontale donnée.
- Que l'équation x^4+y^4=2xy qui caractérise les points de ton ensemble, tu l'a récrite sous la forme x^4+y^4-2xy=0 et que tu as dit que ça, on pouvait si on veut l'écrire f(x)=0.
Donc, arrivé à ce point, cette fameuse fonction f, ben y'a évidement un et un seul truc qui t’intéresse (ou plutôt un seul truc qui est lié à ton problème), c'est de savoir où elle s’annule.
Et toi, là dessus, qu'est-ce que tu fait ? Ben tu calcule la dérivée de f !!!!
Tu peut m'expliquer ce qui te passe par l'esprit (i.e. quel raisonnement tu fait) pour penser que cette dérivée de f va te donner des information concernant les endroit où la fonction f s’annule ?
Et pire encore, quel lien pense tu qu'il y a entre la dérivée de cette fonction f et les éventuelles tangentes à ton ensemble de départ ?

En bref, ça m’intéresserait quand même plus que beaucoup de savoir quel cheminement intellectuel t'a conduit à penser qu'il y avait un rapport entre la dérivée de ta fonction f et les tangentes à la courbe donnée.

P.S. Sans parler du fait que ça :
j'obtiens l'équation 5-2yx+y^4
ca a évidement aucun sens vu que 5-2yx+y^4 c'est pas une équation : le "équa" de équation, c'est la même racine que dans "égalité" et "une équation", c'est une égalité dans laquelle on recherche une (ou des) inconnues.

[Remhouse]

Vous avez raison concernant ma démarche. Je reprends du début concernant la pente de la droite tangente. Dois-je la comparer au point (0,0) (c'est là qu'elle s'annule) ?

[Ben314]

Il y a des tas de façon de procéder en fonction de ce que tu as vu en cours.

De toute façon, le premier truc à vérifier, c'est que l'énoncé est bien cohérent, c'est à dire que le point (x=1 , y=1) est bien situé sur la courbe : est bien égal à .

Ensuite, d'une façon où d'une autre, il faut regarder quels sont les points proches de (1,1) qui sont aussi sur la courbe (pour en déduire la tangente) donc on regarde à quelle condition le point (avec et très petits) sont sur la courbe.
Là, si on la connaît, on peut utiliser la notion de dérivées partielle, mais, vu l'équation, si on ne la connaît pas, on peut s'en sortir quand même :
Le point est sur la courbe à condition que qui, en développant et simplifiant donne qui, lorsque et sont très petits donne (*) c'est à dire . Et c'est qui est l'équation de la tangente au point (1,1). Après, c'est en général plus joli de la donner en terme de et de et, comme le point dont on est parti, c'est , c'est que et , c'est à dire et donc l'équation de la tangente s'écrit qu'on peut si on veut écrire sous la forme vue au collège .
Il est évidement "plus que pas con" de vérifier :
1) Que c'est bien une équation de droite et pas d'un truc tout pourri.
2) Que le point (1,1) appartient bien à cette droite (c'est évidement le minimum de la cohérence !!!!)

(*) Si et sont de l'ordre de alors et sont de l'ordre de ; et sont de l'ordre de ; etc . . .

[chan79]

je suggèrerais bien à l'auteur du post de retenir que pour une fonction implicite

le vecteur est normal à la courbe au point

sauf cas particuliers