Intervalle

Olympiades mathématiques, énigmes et défis
MMu
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Intervalle

par MMu » 10 Déc 2018, 21:44

Soient les rééls positifs et l'ensemble de rééls positifs
Montrer que est un intervalle ouvert et déterminer ses bornes.



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Ben314
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Re: Intervalle

par Ben314 » 10 Déc 2018, 22:20

Salut,
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

MMu
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Re: Intervalle

par MMu » 10 Déc 2018, 22:36

Why ?

aviateur
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Re: Intervalle

par aviateur » 11 Déc 2018, 00:54

Bonjour
Pour le pourquoi:
On peut supposer 0<a<b.
Si on pose et sans restreindre la généralité on supposera x<y lorsque f(x)=f(y).
Une étude de la fonction montre que la fonction f est croissante sur puis décroissante sur
avec . On pose
On désigne par (g resp. h) la fonction réciproque de f restreinte à (resp. )
Alors S est l'image de par la fonction gh. Cette fonction est dérivable et un calcul de sa dérivée montre que cette fonction est croissante.
On en déduit que

MMu
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Re: Intervalle

par MMu » 13 Déc 2018, 06:28

Bien Aviateur, c'est bien de donner une preuve.
Je trouve que donner juste le résultat n'est pas très intéressant.
Voici ma démarche. Comme Aviateur , et sans perte de généralité , je considère .
On pose et on arrive à
Il s'ensuit
Il suffit d'étudier la fonction (classique connu) . Pour le fun je le fait.
On arrive facilement (Hôpital, etc ..) à
Ensuite en utilisant le développement en série on obtient :

Tout ceci montre que l'intervalle pour est

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descampsh
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Re: Intervalle

par descampsh » 13 Déc 2018, 11:23

En mathématique, les démarches possèdent aussi une grande importance pour bien comprendre les résultats.

MMu
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Re: Intervalle

par MMu » 13 Déc 2018, 14:01

MMu a écrit:Bien Aviateur, c'est bien de donner une preuve.
Je trouve que donner juste le résultat n'est pas très intéressant.
Voici ma démarche. Comme Aviateur , et sans perte de généralité , je considère .
On pose et on arrive à
Il s'ensuit
Il suffit d'étudier la fonction (classique connu) . Pour le fun je le fait.
On arrive facilement (Hôpital, etc ..) à
Ensuite en utilisant le développement en série on obtient :

Tout ceci montre que l'intervalle pour est

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