Canettes

[Seiko]

Bonjour à tous !

Alors en fait, on venait de manger un tacos, et je dis à mon père que ma canette (version classique) pollue moins (en tout cas prend moins de plastique) que sa canette (version sleek).
Il me répond que non, car il y a le même volume dans les deux (33cl), donc ça prend forcément autant de plastique.
Du coup, je fais des recherches : Une canette classique a 66mm de diamètre pour une hauteur de 115mm et la canette sleek a 58mm de diamètre pour une hauteur de 145mm.
Je fais donc les calculs :

Canette classique : π×66 (= circonférence) ×115 (hauteur) + 2×(π×33^2) (le haut et le bas de la canette) = 9768π

Canette Sleek : π×58×145+2×(π×22^2)= 10092π

Sa canette prend donc plus de plastique comme je le pensais, mais je n'arrive pas à clairement expliquer pourquoi. Est-ce que ce sont mes calculs qui sont faux ? Ou c'est normal ?

[pascal16]

si tu cherches le rectangle qui à périmètre constant a la plus grande surface, tu trouves que c'est le carré.
La sphère est aussi la forme qui maximise le volume pour une surface donnée.

Tout ce qui a les mêmes dimensions dans toutes les directions est une forme économe en surface rapport à son volume.

[Seiko]

si tu cherches le rectangle qui à périmètre constant a la plus grande surface, tu trouves que c'est le carré.
La sphère est aussi la forme qui maximise le volume pour une surface donnée.

Tout ce qui a les mêmes dimensions dans toutes les directions est une forme économe en surface rapport à son volume.

Merci beaucoup !

[descampsh]

Une énoncé très impressionnante, avec une réponse très bien claire et très importante à savoir. Grand merci à vous de l'avoir expliqué.

[Black Jack]

Salut,

Avec un peu de math.

Pour un volume donné, déterminer les dimensions de la canette qui demandera le moins de matière.

V = Pi.R².h --> h = V/(Pi.R²)

S = 2Pi.R.h + 2.Pi.R²
S = 2Pi.R.V/(Pi.R²)+ 2.Pi.R²
S = 2.V/R + 2.Pi.R²

dS/dR = -2V/R² + 4.Pi.R
dS/dR = 2.(2.Pi.R³ - V)/R

dS/dR = 0 pour R³ = V/(2Pi)

ds/dR < 0 pour Pour R dans ]0 ; V/(2Pi)
ds/dR = 0 pour Pour R = V/(2Pi)
ds/dR > 0 pour Pour R > V/(2Pi)

S est donc maximum pour R = V/(2Pi) = Pi.R².h /(2Pi) = R².h/2
Soit pour h = 2R

La canette cylindrique qui, pour un volume donné, utilise le moins de matière est celle pour laquelle on a h = 2R

Hauteur = diamètre

Plus on s'éloigne de cette égalité (Hauteur = diamètre), plus il faut de matière pour réaliser la canette)

En pratique, pour les "vraies" canettes, c'est un peu différent car les canettes ne sont pas exactement des cylindres avec le fond et le couvercle plats.

[Seiko]

Je suis complètement perdu à partir de dS/dR, que signifie le d ?

Et oui, les vraies canettes sont un peu différentes mais j'imagine que ça doit donner à peu près les même résultats.

En tout cas, merci de ta (votre ?) réponse !

[pascal16]

la variation algébrique quantifiable de S par rapport à celle de R

[LB2]

dS/dR est une notation pour désigner la fonction S', dérivée de S comme une fonction de la variable R (toutes les autres étant considérées constantes)