Bonjour,
Dans un poly de cours, on introduit la fonction suivante :
Puis il est écrit : "on vérifie que f est de classe sur .
Alors, pour voir si j'étais encore capable de faire ce genre de choses, j'ai voulu le vérifier.
- Pour la continuité, c'est immédiat (calcul de limites en +/-1).
- Pour montrer qu'elle est :
f est dérivable sur d'une part et sur d'autre part.
On a
Un calcul de taux d'accroissement en +/-1 montre que f est dérivable en +/-1 (les limites à gauche et à droite coïncident) et que .
Enfin, on vérifie que est bien continue (notamment en +/-1).
- Maintenant, à ce stade, j'imagine qu'il faut faire une récurrence sur l'ordre de dérivation pour obtenir une formule générale donnant la dérivée n-ème et ainsi montrer que si f est pour n fixé, alors, elle est . Sauf que... déjà au rang 2, on obtient des calculs horribles. Alors s'il faut en plus "intuiter" une formule générale pour le rang n....
D'où ma question : y aurait-il un autre moyen plus astucieux de montrer ce résultat (sans se taper tous les calculs...) ?
Merci d'avance !