Coucou!
Je viens du Québec et j'étudie en Science de la Nature, dans mon cours de Calcul Différentiel nous avons reçu un problème que j'ai beaucoup de difficulté à résoudre, malgré tout les moyens trouvés:/ De l'aide serait très apprécié:))
Le voici :
On étudie l'estimateur du maximum de vraisemblances pour une distribution Erlang donné par:
erl(x;θ ) = θ^2 xe^-θ x ,
l'argument x ≥ 0 représente les valeurs possibles que peuvent prendre les données et θ>0 est un paramètre réel
Dans un graphe de distribution Erlang, l'aire sous la courbe entre deux données x=a, x=b représente la probabilité qu'un élément échantillonné selon la distribution se trouve dans l'intervalle [a,b].
Supposons, qu'on se restreint à des échantillons comportants cinq données; un tel échantillon est dénoté par x= (x1, x2, x3, x4, x5)
La fonction de vraisemblance équivaut à: Lx (θ) = erl(x1;θ)erl(x2;θ)erl(x3;θ)erl(x4;θ)erl(x5;θ)
Elle mesure à quelle point le paramètre θ est fidèle à l'échantillon x donné. Le but du problème est de trouver le paramètre θ qui maximise la fonction de vraisemblance Lx.
a) Montrer que (ln rond de Lx)(θ) = 10 ln (θ) + (ln(x1)+...+ln(x5)) - θ(x1+...+x5) (fonction de log-vraisemblance)
b) Montrer que la valeur de θ qui maximise la log-vraisemblance pour l'échantillon x donné est:
θ= 10/(x1+...+x5)
en trouvant les points critiques de la fonction log-vraisemblance et en utilisant le test de la dérivée seconde
c)On vous donne les 3 échantillons de données suivants:
(1.95, 7.71, 2.72, 2.04, 3.52) (7.31, 6.13, 1.34, 5.09, 1.55) (3.68, 6.13, 2.19, 1.14, 6.29)
Ces données sont distribuées selon une Erlang de paramètre θ inconnu. Estimer une valeur plausible de θ en faisant la moyenne des trois paramètres obtenus via l'estimateur du maximum de vraisemblance pour ces échantillons
d)Dans cette analyse, nous nous sommes restreints à des échantillons comportant cinq données. Quel en est l'impact? Déduire une formule plus générale pour θ(x) lorsque l'échantillon x=(x1+...+xn) comporte n données (la formule dépendrait des xi et de n)