Log-vraisemblance, Distribution d'Erlang

Réponses à toutes vos questions de la 2nde à la Terminale toutes séries
maggii
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Log-vraisemblance, Distribution d'Erlang

par maggii » 11 Déc 2018, 03:48

Coucou!
Je viens du Québec et j'étudie en Science de la Nature, dans mon cours de Calcul Différentiel nous avons reçu un problème que j'ai beaucoup de difficulté à résoudre, malgré tout les moyens trouvés:/ De l'aide serait très apprécié:))
Le voici :

On étudie l'estimateur du maximum de vraisemblances pour une distribution Erlang donné par:
erl(x;θ ) = θ^2 xe^-θ x ,
l'argument x ≥ 0 représente les valeurs possibles que peuvent prendre les données et θ>0 est un paramètre réel
Dans un graphe de distribution Erlang, l'aire sous la courbe entre deux données x=a, x=b représente la probabilité qu'un élément échantillonné selon la distribution se trouve dans l'intervalle [a,b].
Supposons, qu'on se restreint à des échantillons comportants cinq données; un tel échantillon est dénoté par x= (x1, x2, x3, x4, x5)
La fonction de vraisemblance équivaut à: Lx (θ) = erl(x1;θ)erl(x2;θ)erl(x3;θ)erl(x4;θ)erl(x5;θ)
Elle mesure à quelle point le paramètre θ est fidèle à l'échantillon x donné. Le but du problème est de trouver le paramètre θ qui maximise la fonction de vraisemblance Lx.
a) Montrer que (ln rond de Lx)(θ) = 10 ln (θ) + (ln(x1)+...+ln(x5)) - θ(x1+...+x5) (fonction de log-vraisemblance)
b) Montrer que la valeur de θ qui maximise la log-vraisemblance pour l'échantillon x donné est:
θ= 10/(x1+...+x5)
en trouvant les points critiques de la fonction log-vraisemblance et en utilisant le test de la dérivée seconde
c)On vous donne les 3 échantillons de données suivants:
(1.95, 7.71, 2.72, 2.04, 3.52) (7.31, 6.13, 1.34, 5.09, 1.55) (3.68, 6.13, 2.19, 1.14, 6.29)
Ces données sont distribuées selon une Erlang de paramètre θ inconnu. Estimer une valeur plausible de θ en faisant la moyenne des trois paramètres obtenus via l'estimateur du maximum de vraisemblance pour ces échantillons
d)Dans cette analyse, nous nous sommes restreints à des échantillons comportant cinq données. Quel en est l'impact? Déduire une formule plus générale pour θ(x) lorsque l'échantillon x=(x1+...+xn) comporte n données (la formule dépendrait des xi et de n)



aviateur
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Re: Log-vraisemblance, Distribution d'Erlang

par aviateur » 11 Déc 2018, 12:34

Bonjour
Pour simplifier l'écriture les somme et produits ci-dessous seront pour i allant de 1 à 5.
D'abord tu as , (pour u>0)
Donc

La fonction Log étant croissante alors la fonction L_x est maximale ssi la fonction ln rond Lx est maximale.
Nécessairement on a un maximum si : .
Or donc le seul candidat possible est :
Maintenant ce qui montre que est le maximum de vraisemblance.

aviateur
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Re: Log-vraisemblance, Distribution d'Erlang

par aviateur » 11 Déc 2018, 12:50

Je ne vois pas de difficulté à la question c. Il suffit d'appliquer la formule démontrée précédemment.

Pour la généralisation, c'est absolument identique. Il suffit de sommer de 1 à n (au lieu de 1 à 5).
Bien entendu on trouvera :

LB2
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Re: Log-vraisemblance, Distribution d'Erlang

par LB2 » 12 Déc 2018, 02:18

Bonsoir,

Dans un processus de Poisson de paramètre d'arrivée , la distribution d'Erlang peut s'interpréter comme la densité de probabilité de la variable aléatoire Yk mesurant le temps de la k-ème arrivée.
Ici, on reconnait une distribution d'Erlang, avec , étant la valeur du paramètre d'arrivée. C'est à dire qu'il y a en moyenne arrivées par unité de temps.

Les échantillons de données s'interprètent comme des mesures de temps de seconde arrivée (d'un phénomène à préciser).

Intuitivement la formule de l'EMV est bien logique, elle correspond à la moyenne empirique. On a mesuré n temps de seconde arrivée, on s'attend donc à ce que dans le temps total mesuré (somme des x_i), il y ait eu 2n arrivées. D'où un taux moyen d'arrivée par unité de temps de 2n/(Somme des x_i).

Cordialement

LB2
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Re: Log-vraisemblance, Distribution d'Erlang

par LB2 » 12 Déc 2018, 02:23

Cette distribution d'Erlang avec k=2 peut aussi se réaliser comme la somme de deux variables aléatoires indépendantes, chacune suivant une loi exponentielle de paramètre

maggii
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Re: Log-vraisemblance, Distribution d'Erlang

par maggii » 12 Déc 2018, 03:25

Je vois que je suis la seule à ne pas avoir compris:) Merci beaucoup pour les éclaircissement!

maggii
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Re: Log-vraisemblance, Distribution d'Erlang

par maggii » 12 Déc 2018, 03:32

@aviateur je ne comprend pas comment vous avez fait la dérivée de la log vraisemblance??

maggii
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Re: Log-vraisemblance, Distribution d'Erlang

par maggii » 12 Déc 2018, 05:47

aviateur a écrit:Bonjour
Pour simplifier l'écriture les somme et produits ci-dessous seront pour i allant de 1 à 5.
D'abord tu as , (pour u>0)
Donc

La fonction Log étant croissante alors la fonction L_x est maximale ssi la fonction ln rond Lx est maximale.
Nécessairement on a un maximum si : .
Or donc le seul candidat possible est :
Maintenant ce qui montre que est le maximum de vraisemblance.



je ne comprend pas exactement comment vous avez trouvé la dérivé première et seconde?

LB2
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Re: Log-vraisemblance, Distribution d'Erlang

par LB2 » 12 Déc 2018, 11:01

Le log de la vraisemblance est une fonction de .

Il faut revenir au formulaire de calculus pour les fonctions d'une variable : ici les sont des constantes, est la variable.

aviateur
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Re: Log-vraisemblance, Distribution d'Erlang

par aviateur » 12 Déc 2018, 11:54

Bonjour
Merci LB2 pour l'interprétation.
Effectivement on dérive par rapport à . La fonction est de la forme
d'où la dérivée

 

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