Injectivité fonction complexe

[maxlegoua]

Bonjour,
J’ai une fonction g:
g(t)= -1+exp[(2itpi)/t-1] si t<=0
g(t)= 1-exp[(2itpi)/t+1] si t>=0
Je dois montrer que g est une bijection continue de R dans C.
J’ai déjà montré que g était une fonction continue, qu’elle etait aussi surjective.
Mais je bloque totalement pour montrer que c’est une fonction injective.
Auriez vous une petite idée de la bonne piste à suivre?
Merci d’avance

[aviateur]

Bonjour
Normalement tu as dû résoudre l'équation g(t)=z pour tout z dans C pour montrer la surjectivité.
Si tu as bien fait le calcul tu as trouvé pour chaque z une solution unique. Non?

[maxlegoua]

C'est bien ça oui, j'ai
t= -1 - (2ipi) / ln(1-Z1) pour t>=0 et
t= 1 + (2ipi) / ln(Z2+1) pour t <=0

[aviateur]

Bon ça ne vas pas. En tout cas c'est pas clair. En effet c'est quoi Z1 et Z2. Et puis c'est suremnt des complexes alors ln(1-Z1) est multiforme.
Je pense que tu dois revoir la surjectivité avec plus de précision.
Tu prend z complexe et tu résous g(t)=z (peut-être en distinguant plusieurs cas)
Maintenant j'ai un doute sur la surjectivité. En effet (à moins que cela soit mal écrit) mais ta fonction g est visiblement bornée. Alors comment atteindre z quand son module est grand?

[maxlegoua]

Je me suis trompé, je vous ai donné l'application réciproque de g.
Mais je ne vois pas où vous voulez en venir car on sait que toute fonction est surjective sur son image, donc cette fonction est forcément surjective.

[aviateur]

Bon moi ce que j'ai dit c'est sur des données. Si elles ne sont pas bonnes, alors que dire?

[LB2]

Bonjour,

tu montres l'injectivité directement : montre que si g(t1)=g(t2) , alors t1=t2.

Si t1<0 et t2 <0, c'est OK, tu auras besoin de remarquer que la fonction x->x/(x-1) prend ses valeurs dans ]0,1[ pour conclure.

Si t1>0 et t2 >0, c'est OK, tu auras besoin de remarquer que la fonction x->x/(x+1) prend ses valeurs dans ]0,1[ pour conclure.

Si t1 >0 et t2 <0, alors g(t1) ne peut pas être égal à g(t2), car |g(t1)-g(t2)| > 0

Cordialement

[aviateur]

Oui on peut peut être montrer que g est injective. Mais je ne vois pas l'intérêt de continuer à répondre à ce post.
En effet on n'a pas la fonction de départ. On aurait soit disant la fonction réciproque g qui de tout façon n'est pas bijective de R vers C.
Comme je l'ai déjà g est bornée donc non surjective et non bijective.
Donc à moins que le bon énoncé soit donné, on travaille dans le néant.

[LB2]

g(t)= -1+exp[(2itpi)/(t-1)] si t<=0
g(t)= 1-exp[(2itpi)/(t+1)] si t>=0

définit bien une fonction injective mais surement pas surjective vers C, car bornée effectivement

[maxlegoua]

Rebonjour,
Merci beaucoup pour votre aide.
Comment fait-on pour montrer que |g(t1)-g(t2)| > 0 lorsque T1>0 et T2<0 ?
Cordialement

[LB2]

inégalité triangulaire

[maxlegoua]

Je suis bloqué depuis plus d'une heure dessus, pourriez vous m'aider s'il vous plaît

[LB2]

Soit t1>0 et t2<0

g(t1)-g(t2)=2-exp[(2it1pi)/(t1+1)] +exp[(2it2pi)/(t2-1)]
Or, par inégalité triangulaire |exp[(2it1pi)/(t1+1)] +exp[(2it2pi)/(t2-1)|<=|exp[(2it1pi)/(t1+1)]| +|exp[(2it2pi)/(t2-1)|<=1/|(t1+1)|+1/|(t2-1)|=1/(t1+1)+1/(1-t2)<2

On a donc g(t1)-g(t2)=2-z, avec |z|<2
donc |g(t1)-g(t2)|>0 par inégalité triangulaire