Réduites de jordan

[Obito31]

Bonsoir,
Voila j'ai du mal avec cette exo :

Soit M appartenant à l'ensemble des matrices 4×4 à coefficient complexe telle que Sp (M) = {0}

1. Donner toutes les réduites de jordan possibles de M
2. On suppose ici que l'espace propre associer à la valeur propre de 0 est de dimension 2, déterminer dans ce cas les seuls réduites de jordan possibles pour M

Alors déjà comme 0 zéro est valeur propre le polynôme caractéristique de M s'écrit comme P(X)= X.Q(X) mais comme on est dans C le polynôme Q(X) a aussi une racine et comme 0 zéro est la seul racine de P il viens que 0 est seul racine de Q donc P(X)= X^4

Mais ensuite je vois pas trop quoi faire . . Je sait même pas si c'était la peine de calculer le polynôme caractéristique de M

[Ben314]

Salut,
De "calculer" le polynôme caractéristique, ça sert évidement à rien : quand on le calcule, c'est pour en déduire les valeur propres (qui sont les racines du polynôme) sauf qu'ici, ben l'ensemble des valeurs propre, on te le donne, c'est {0}, c'est à dire que la seule valeur propre, c'est 0.
Sinon, pour déterminer les différentes formes possible pour la réduite de Jordan de A, il suffit de savoir ce que c'est (par définition) qu'un "bloc de Jordan" vu que la réduite de A est formée d'un certain nombre de ces blocs.

[LB2]

Bonjour,

Comme dit Ben, le polynôme caractéristique est inutile ici, tu as besoin d'un outil plus fin. (Je te rappelle que deux matrices semblables ont même polynôme caractéristique, mais que la réciproque est évidemment fausse. Alors que les réduites de Jordan constituent un invariant de similitude)

ce qui va te servir ici, c'est distinguer suivant le rang de la matrice M, puisque le théorème du rang assure que 4=rang(M)+dimension du sous espace propre associé à 0.

Et, les différentes réduites de Jordan a priori et de rang 2 m'intéressent, si tu peux poster ta solution.

Bien cordialement

[Obito31]

Bonjour et Désolé pour la longue absence..

Alors les différente réduites de jordan sont les matrices de la forme

0 a1 0 0
0 0 a2 0
0 0 0 a3
0 0 0 0

Ou les ai sont des 0 ou des 1

Et si le sous espace propre associer à 0 est de dim 2 les réduites de jordan est la matrices précédente avec a1 =0 et a2=a3=1

Est-ce bien ça ?

[aviateur]

Bjr, Non ce n'est pas ça.
Tu oublies les cas a1=a3=1 , a2=0 et a1=a2=1 et a3=0 . On a 3 cas différents (bien que structurellement il n'y a que 2 cas)

[Obito31]

Ah oui bien sûr ! On est pas obliger de mettre côte à côte les 2 vecteur de la base du sous espace propre !
Merci aviateur

[aviateur]

Du point de vue structure, tu peux avoir un indice de nilpotence égal à 2 ou bien à 3.
Dans les 2 cas où l'indice de nilpotence est 3, les 2 matrices sont semblables.

[Obito31]

Excuse moi je ne pas comprend le structurellement il n'y a que 2 cas

[aviateur]

Comme je l'ai dit au dit au dessus 2 des 3 matrices que l'on a trouvé sont semblables. Autrement dit
tout revient à changer l'ordre des blocs de Jordan (intervertir les vecteurs propres).
Autrement dit 4=2+2=1+3=3+1. Mais puisque 1+3=3+1, mettre le bloc de taille 1 avant le bloc de taille 3 ou le bloc de taille 3 avant le bloc de taille 1 ne change rien à la structure de l'endomorphisme représenté. On passe d'une matrice l'autre par un simple changement de base