Salut,
Tout a pourtant été dit... ou presque.
ch(x)+cos(a) = 2.sh(x)+sin(a)
ch(x)-2sh(x) = sin(a)-cos(a)
(e^x + e^-x)/2 - 2.(e^x - e^-x)/2 = sin(a)-cos(a)
(-e^x + 3.e^-x) = 2.(sin(a)-cos(a))
Poser (pour faciliter l'écriture) : e^x = y (et donc y doit être > 0)
-y + 3/y = 2.(sin(a)-cos(a))
y² + 2.(sin(a)-cos(a)).y - 3 = 0
Equation du 2d degré en y dont les solutions sont :
y1 = cos(a)-sin(a) + V(4-sin(2a))
y2 = cos(a)-sin(a) - V(4-sin(2a))
Mais y2 < 0, ce qui est interdit. (car le max de cos(a)-sin(a) est V2 et que V3 <= V(4-sin(2a)) <= V5)
Donc la seule solution est y = cos(a)-sin(a) + V(4-sin(2a)) (positif pour tout a réel (car le min de cos(a)-sin(a) est -V2 et que V3 <= V(4-sin(2a)) <= V5))
e^x = cos(a)-sin(a) + V(4-sin(2a))
x = ln(cos(a)-sin(a) + V(4-sin(2a))