Ordre Groupe

[Kingudamu]

Bonsoir, je bloque à la question 2 de cette énonce:


1) Le groupe est cyclique car par le lemme chinois, il est isomorphe à qui est cyclique car le produit direct de deux groupes cycliques finis est un groupe cyclique ssi leurs ordres sont premiers entre eux ().

2) On cherche les éléments de la forme dans , cela revient à chercher les éléments vérifiant dans qui est lui même isomorphe au groupe additif

Merci d'avance.

[infernaleur]

Bonsoir,
Pgcd(4,6) = 1 ???

[Kingudamu]

je voulais dire pgcd(7,5)

edit:

ah justement, Le groupe ne peut pas être cyclique car par le lemme chinois, il est isomorphe à or le produit direct de deux groupes cycliques finis est un groupe cyclique ssi leurs ordres sont premiers entre eux, ord( ) = φ(7) = 6 car 7 est premier et ord( () = φ(5) = 4 car 5 est premier; pgcd(4,6) = 2 =/= 1

[infernaleur]

Je suis d'accord avec cette propriété (1) :
Si H et G sont deux groupes cycliques d'ordre m,n on a :
pgcd(m,n)=1 <=> HxG cyclique.

Je suis d'accord aussi avec le fait que Z/35Z est isomorphe à Z/7Z x Z/5Z car 7 et 5 sont premiers entre eux (par le lemme chinoix), donc on en déduit que (Z/35Z)* est isomorphe (Z/7Z)* x (Z/5Z)* (ça aussi je suis d'accord).

Mais pour utiliser la propriété (1) tu as besoin que l'ordre de (Z/7Z)* (i.e ).
Et l'ordre de (Z/5Z)* (i.e ) soient premier entre eux, ce qui n'est pas le cas !!!

[infernaleur]

J'avais pas vu que tu avais édit ton précédent message, donc oui la maintenant c'est juste. Sinon tu peux énumérer tous les éléments de (Z/35Z)* (ça va il y en a que 24 ^^) et voir que aucun est d'ordre 24.

[infernaleur]

Après il faudrait aussi justifier pourquoi les groupes multiplicatifs Z/7Z et Z/5Z sont cycliques pour que ça soit parfait.

[LB2]

Bonjour,

2) On cherche les éléments de la forme dans ,

Attention , ceux si sont les éléments dont l'ordre divise 12, ce n'est pas tout à fait ce qu'on veut.

(Z/35Z)* est effectivement isomorphe au produit direct Z/4Z X Z/6Z, qui n'est pas cyclique (aucun élément d'ordre 24 là dedans), l'ordre maximal d'un élément est ppcm(4,6)=12.

Réciproquement, quels sont les éléments d'ordre 12 dans Z/4Z X Z/6Z?
On trouve les couples (a,b) avec (sous réserve)

Question : est il vrai que si x est d'ordre dans Z/nZ, et y d'ordre dans Z/mZ, alors le couple (x,y) est d'ordre dans le produit direct Z/nZ X Z/mZ ?

[Ben314]

Salut,

Question : est il vrai que si x est d'ordre dans Z/nZ, et y d'ordre dans Z/mZ, alors le couple (x,y) est d'ordre dans le produit direct Z/nZ X Z/mZ ?

Oui, bien sûr vu que, pour tout entier k, on a (x,y)^k=(x^k,y^k) par définition du produit dans Z/nZ X Z/mZ. Donc (x,y)^k=(1,1) [neutre de Z/nZ X Z/mZ.] ssi x^k=1 et y^k=1, c'est à dire ssi a divise k et b divise k soit encore ssi ppcm(a,b) divise k.

Et ici, avec a qui divise 4 et b qui divise 6, on a ppcm(a,b)=12 ssi a=4 et b=3 ou 6.
Ensuite, dans (Z/4Z,+), il y a deux éléments d'ordre 4 (1 et -1) et, dans (Z/6Z,+), il y a deux éléments d'ordre 6 (1 et -1) et deux éléments d'ordre 3 (2 et -2) donc dans ((Z/36Z)*,x) il y a 2x4=8 éléments d'ordre 12.

[LB2]

Merci Ben!
J'en étais convaincu mais n'ayant vu ce "résultat" nulle part, je ne voulais pas dire de bêtises...