Exercice : Suites et probabilités

[pléon]

Bonjour à tous !
Alors voilà, c'est ma grande rage et c'est un petit peu l'ennui de beaucoup de monde en mathématiques : je bloque et je reste des heures sur un exercice sur lequel je ne trouve aucune piste qui fonctionne... Pourriez-vous m'aider ?

Pour la question (a), je suppose qu'il faut conjuguer l'expression de cette question avec celle de Un donnée plus haut...mais comment prouver cette expression...?

Pour la (b), on doit trouver une écriture d'une suite arithmétique en conjuguant les expressions de (a) et l'expression de Un sans doute mais je ne vois pas comment mettre en oeuvre cela...

Pour la (c) enfin, que faire : une récurrence ? reconnaitre une suite récurrente linéaire double ?

Voilà donc mon problème, j'ai des éléments de réponse qui me semblent légitimes mais je suis incapable de les mettre en oeuvre convenablement pour trouver les résultats demandés...
Merci par avance.

Voici le sujet :

[nuage]

Salut,
pour la question a) il ne faut pas oublier que p+q=1.
On a alors

[pléon]

Salut,
pour la question a) il ne faut pas oublier que p+q=1.
On a alors

Merci nuage, j'avais en effet omis ce paramètre...

[pléon]

Ahem..Personne n'aurait une pt'ite suggestion pour m'aider pour le (b) et le (c) ? S'il vous plaît...

[yos]

Le (b) est immédiat non?
Pour le (c), si on note , on a d'où suite géométrique... Pour revenir à u_n, il faut sommer les v_k pour k<n.

[pléon]

Le (b) est immédiat non?
Pour le (c), si on note , on a d'où suite géométrique... Pour revenir à u_n, il faut sommer les v_k pour k<n.

Merci yos

Oui, le (b) est en effet immédiat mais je n'ai pas bien compris le (c)...comment "sommer les v_k pour k<n" ??

De plus, ça ne répond pas à la question du (c)...

[pléon]

Merci yos.

Oui, le b) est immédiat mais...le (c), je ne vois pas trpo la méthode pour "sommer les v_k pour k

[pléon]

Le (b) est immédiat non?
Pour le (c), si on note , on a d'où suite géométrique... Pour revenir à u_n, il faut sommer les v_k pour k<n.

Le (b) immédiat...pas pour moi en tout cas !
On est censé trouver une suite arithmétique, or je trouve la forme d'une suite géométrique :
Quant au (c), cela ne répond pas à la question...
Voilà je m'excuse et vous remercie ,mais je suis bloqué depuis longtemps et bien embarassé...

[pléon]

Personne pour m'aider ? :triste:

[yos]

Pour le (b), tu as p=q, donc tu peux simplifier p et q dans la relation du (a). Et tu obtiens que ne dépend pas de n. C'est ce qu'on appelle une suite arithmétique.

[pléon]

Pour le (b), tu as p=q, donc tu peux simplifier p et q dans la relation du (a). Et tu obtiens que ne dépend pas de n. C'est ce qu'on appelle une suite arithmétique.

Ah d'accord, je ne savais pas...(je cherchais une écriture de la forme ).

Donc avec (a) on a :
Puis on remplace l'expression de ?

Par contre, serait-il possible de m'éclairer pour le (c)...car la question n'est pas : montrer que la suite est géométrique mais "montrer qu'il existe deux constantes réelles telles que..." .

Merci beaucoup par avance.

[yos]

Si , alors , et comme v_n est géométrique (de raison q/p), tu peux calculer Un grâce à la formule de la somme des termes d'une suite géométrique.

[pléon]

Si , alors , et comme v_n est géométrique (de raison q/p), tu peux calculer Un grâce à la formule de la somme des termes d'une suite géométrique.

Ne serait-ce pas plus simple par reconnaissance d'une suite récurrente linéaire double dont les solutions de l'équation caractéristique sont 1 et x ?

Mais...j'avoue que je ne sais pas trop comment mettre cela en oeuvre...

[pléon]

Et de plus, j'aimerai un peu plus de lumières sur la deuxième partie du (b) : on a certes montré qu'elle était arithmétique mais comment la caractériser en exprimant en fonction de n, a, b, et ??

[yos]

(b) Un=U0+nr . Remplace n par a+b et tu as r en fonction de ce que tu veux, puis Un finalement.
Pour (c), on peut bien sûr passer par l'équation caractéristique qui est
pr²-r+q=0. Elle a deux solutions et . Un est alors une combinaison de et de dont les coefs se trouvent à partir de U0 et Ua+b.
Bon courage car je vais me coucher.