Systeme generateur

[canard]

Bonjour

Comment faire pour montrer qu'un systeme est générateur?

Dans l'espace vectoriel de R2, trois vecteur définis par vecteur u=(1,2), vecteur v = (1,3) et vecteur w=(1,4)

Le systeme S=(vecteurs u,v,w) est-il generateur?, est-il libre?
Extraire une base de R2

Merci

[simplet]

C'est pas une base puisque qu'une base de R^2 (dimension 2) est composée de 2 vecteurs.
Et 2 vecteurs sont generateurs de R^2 s'ils ne sont pas liés...

[Zebulon]

Bonsoir,
un système de n vecteurs d'un espace vectoriel réel E est générateur si et seulement si, pour tout , il existe tels que .
Ici, l'espace vectoriel est .
Soit est un système générateur de si et seulemnt si l'équation admet des solutions en , , , si et seulement si le système admet des solutions.
Pour l'indépendance des vecteurs, commencez par vous demander si trois vecteurs peuvent être indépendants dans un plan...

[simplet]

amusons nous un peu..
(1,0) ; (0,1) est une base de R^2.
Et (1,3)-(1,2)= (0,1)
(1,2)=(1,0)+2(0,1) d'où (1,0)=2(0,1)-(1,2) ...


(faire la méthode standart me saoulais un samedi soir...)

[canard]

On fait comment pour résoudre l'equation x=alpha + beta+gamma
y=2alpha+3beta+4gamma ?

[canard]

Bonsoir,
un système de n vecteurs d'un espace vectoriel réel E est générateur si et seulement si, pour tout , il existe tels que .
Ici, l'espace vectoriel est .
Soit est un système générateur de si et seulemnt si l'équation admet des solutions en , , , si et seulement si le système admet des solutions.
Pour l'indépendance des vecteurs, commencez par vous demander si trois vecteurs peuvent être indépendants dans un plan...

on fait comment pour résoudre ?

Merci

[Zebulon]

Quand on a plus d'inconnues que d'équations, on choisit une inconnue "en trop", et on exprime les deux autres inonnues en fonction des données et des incoonues "en trop".
Ici, on a deux équations à trois inconnues. Mettons que soit l'inconnue "de trop".
Alors (S) :
on n'a fait que réécrire le système, mais on a mis en évidence que est "de trop" (on dit que est un paramètre).
Donc (S)
Ce système a donc une solution pour chaque :
, . On peut donc choisir un simple, par exemple , mais si on préfère un compliqué, pourquoi pas ?
Ce système est donc bien générateur de .
Pour l'indépendance, vous y avez réfléchi ?

[canard]

(1,4)=alpha(1,2)+beta(1,3)==> alpha=1, beta=2
w=-u+2v



alpha(1,2)+beta(1,3)=0=======> alpha=beta=0

donc libre

[Zebulon]

(1,4)=alpha(1,2)+beta(1,3)==> alpha=1, beta=2
w=-u+2v

...donc le système (u,v,w) n'est pas libre.

alpha(1,2)+beta(1,3)=0=======> alpha=beta=0
donc libre

Ce n'est pas suffisant. Ca manque d'étapes intermédiaires :

donc le système (u,v) est libre.
Le système (u,v) est-il générateur de ?

[canard]

...donc le système (u,v,w) n'est pas libre.

Ce n'est pas suffisant. Ca manque d'étapes intermédiaires :

donc le système (u,v) est libre.
Le système (u,v) est-il générateur de ?

alpha+beta=x
2alpha+3beta=y

==>beta=y-2x et alpha=3x+y

donc generateur et libre , le systeme u,v forme bien une base de R2

[Zebulon]

En fait, on a montré que (u,v,w) était générateur de donc (immédiatement) (u,v) est générateur, mais je suis tout à fait d'accord avec

alpha+beta=x
2alpha+3beta=y

donc generateur et libre , le systeme u,v forme bien une base de R2

Parfait ! :++: