Limite de deux suites adjacentes

[bolbu]

bonjour
j’espère que quelqu'un peut m'aider à cet exercice
j'arrive pas à déterminer la limite de cette suite adjacente
un=\sum_{2}^{n}{1/(k^2-1)} c'est à dire la somme de 2 à n de 1/(k^2 -1)
vn=un+(1/n)
j'ai montré que vn et un sont adjacentes mais la limite j'arrive pas

[Ben314]

Salut,
Déjà, ça serait un "bon investissement" que tu te mette au LaTeX (à la fois pour le forum et pour ta culture) :
.

Ensuite, calcule les 5 ou 6 premiers termes de la suite :


. . .
et dit moi si tu ne constate pas un truc "un peu miraculeux". Ensuite, on verra comment démontrer ce "miracle" proprement (soit par récurrence, soit directement en étant un peu astucieux)

[rcompany]

est la série d'une suite. Quelle suite? Que peux-tu dire de cette suite dont la série est ? Revoir ton cours sur les limites de séries.

[bolbu]

je comprend pas, j'arrive pas à le trouver ??

[bolbu]

je sais que si lim un= lim vn=l
un<l<vn (puisque un<vn)
on peut la calculer pour n=3 par exemple on aura un encadrement de l
mais pour la determiner en précision je sais pas comment

[Carpate]

Bonsoir,

un=\sum_{2}^{n}{1/(k^2-1)}

Tu t'étais presque converti au LaTeX mais avais oublié de signaler à ton navigateur que c'est du code LaTeX à interpréter en l'encadrant par les balises TEX et \TEX (entre crochets).

Exercice de niveau Lycée ?

[bolbu]

bah j suis débutant je sait utiliser LaTEX
eh oui c'est de niveu lycée

[Carpate]

Si tu écris par exemple les 9 premiers termes de qu'obtiens-tu ?

[bolbu]

s2=1/3
s3=11/24
s4=63/120
s5=68/120
s6=25/42
s7=207/336
voila les 7 premiers termes !

[Ben314]

.

[bolbu]

putain, j'arrive à rien
je sais ce que vous dites
sur l'exercice la 1er question etait de montrer qu'elles sont adjacentes, eh voila c fait
la 2eme question c determiner la limite de un
je sais pas comment faire, les regles de l'adjacent ne donne rien ben c c'est pas du niveu terminale je sais pas
je me suis énervé avec cet exercice

[Ben314]

L'astuce, c'est ça :





. . .
Quand on somme, les termes de même couleur s'éliminent.

Une autre méthode, peut-être plus évidente, c'est de calculer pas mal de termes avec un outil de calcul, puis de constater que ça semble tendre vers 0,75=3/4 puis, au lieu d'écrire U1, U2, U3, U4, ... d'écrire à la place 3/4-U1 , 3/4-U2 , 3/4-U3 , 3/4-U4 , ... vu que si notre intuition est bonne, cette suite là doit tendre vers 0.
Et en calculant 6 ou 7 termes de la forme , là, on voit la logique et on peut démontrer le résultat (par exemple par récurrence) sans utiliser l'astuce ci dessus.

[Carpate]

La décomposition de en n'est pas tellement une astuce qu'une analogie avec les techniques de calcul d'intégrale (décomposition en éléments simples) que l'on n'a pas vues au lycée me semble-t-il.

[bolbu]

ah merci beaucoup, j'ai compris