La valeur absolue

[Velvet2003]

Svp aidez moi à résoudre ce problème
La question est : résoudre dans R l'inéquation
|2x+1|-7=|x-1|

[mathelot]

bonsoir,
débarrasses toi des valeurs absolues en considérant trois cas

[mathelot]

par exemple sur l'intervalle l'équation devient:

-2x-1-7=-x+1

[capitaine nuggets]

Svp aidez moi à résoudre ce problème
La question est : résoudre dans R l'inéquation
|2x+1|-7=|x-1|

Salut !

Par définition :



La première valeur absolue s'annule lorsque , c'est-à-dire .
La deuxième valeur absolue s'annule lorsque , c'est-à dire .

On distingue alors trois cas suivant où se situe par rapport aux deux valeurs et annulant les valeurs absolues et .

1) Si alors et . En remplaçant cela dans ton équation, on est amené à résoudre sachant que .
2) Si alors et . Résous alors ton équation sachant que .
3) Si alors et . Résous alors ton équation sachant que .

[Black Jack]

Salut,

Autre méthode si on ne veut pas s'encombrer avec les intervalles engendrés par les valeurs absolues.

|2x+1|-7=|x-1|
On élève les 2 membres au carré, attention que cette opération peut engendrer des solutions parasites, il faudra donc vérifier si les solutions obtenues sont ou non à conserver.

(2x+1)² + 49 +/- 14(2x+1) = (x-1)² (comprendre le pourquoi du signe +/-)

On développe et on arrive à 2 équations indépendantes :

3x²+34x+63 = 0
et
3x²-22x+35 = 0

On trouve donc 4 solutions ... qu'il faut penser à vérifier si elles vérifient ou non l'équation de départ ... Il y aura ici 2 solutions qui conviennent.

Ce n'est probablement pas ainsi que la résolution est attendue ... mais beaucoup de chemins mènent à Rome.

[Ben314]

Salut,
Tant qu'à faire d'utiliser le symbole , je vois franchement pas l'intérêt d'élever la relation au carré.
Ca t'apporte quoi par rapport a écrire dés le départ que ?

Si encore tu élevais une deuxième fois au carré, ça pourrait se justifier par le fait que tu veut mordicus enlever tout les , mais d'en enlever un sur les deux, là, je vois pas bien l'intérêt . . .

[Black Jack]

Ta proposition donne 4 équations du premier degré
La mienne donne 2 équations du second degré

Et il faut dans les 2 cas vérifier si les 4 solutions sont ou non OK.

Ce qui revient au même, sauf que cela t'a permis de faire une remarque sans grand intérêt.

Il s'agit de diverses manières d'arriver au résultat, alors je ne vois pas pourquoi ne pas les mentionner.

[Velvet2003]

Donc on obtiendra x=5 ou x=-9 ou x=7/3

[Black Jack]

Donc on obtiendra x=5 ou x=-9 ou x=7/3

Juste pour voir, vérifie si x = 7/3 vérifie l'équation de départ.

[aviateur]

Bonjour
A propos des différentes méthodes, il y a au moins une chose à faire ou à se dire et où tout le monde sera d'accord, du moins je le pense:
Du point de vu graphique les courbes des fonctions qui représentent les deux membres de l'équation sont des réunions de deux 1/2 droites ayant la même origine. Alors on voit mal comment on pourrait avoir 3 solutions (c'est à dire comment ces courbes peuvent avoir 3 points d'intersection).

[Ben314]

. . . les courbes des fonctions qui représentent les deux membres de l'équation sont des réunions de deux 1/2 droites ayant la même origine donc . . .

Si tu n'évoque QUE cet argument là (et que tu ne précise rien sur les pentes), alors c'est incorrect.
Par exemple les courbes des fonctions sont bien toutes les deux "des réunions de deux 1/2 droites ayant la même origine" or elles se coupent 3 fois (en x=-3 , -1 et 1)

[aviateur]

Of course. Je ne considère que la représentation graphique de l'exemple sans forcément en avoir donné la complète description.
Les représentations graphiques des deux 1/2 droites sont de pentes opposées.
C'est simplement pour voir qu'il ne peux y avoir 3 solutions ici.
Donc si on prend ton exemple, il faut bien sûr faire attention.

[fastandmaths]

Bonjour,

@ben 314,

Il est vrai qu'il existe différentes méthodes de résolution , plus ou moins longues.Est il possible à tout hasard de transformer l'équation en une inéquation puis majorer le membre de gauche grâce à l'inégalité triangulaire .En considérant seulement le cas d'égalité, j'obtiens une des deux solutions, du coup ceci me laisse un peu perplexe .Est ce sans intérêt ou alors ma bidouille a du sens?

Merci,

[Ben314]

Ça peut éventuellement marcher en utilisant des inégalités, mais à mon avis, ça ne peut que (grandement) rallonger la rédaction.
Pour moi, "la bonne" (i.e. la plus rapide) façon de procéder, c'est de faire un tableau :

[LB2]

Bonjour,

autre méthode qui se rapproche de celle de Ben :

se ramène à



La fonction qui à x associe est affine par morceaux, et vaut :

si
si
si

On vérifie bien que est continue aux points de raccordements.
Graphiquement, l'inéquation est facile à résoudre et donne bien deux solutions.
La solution rejetée par le calcul est trouvée en prolongeant en pointillés les droites affines obtenues.

[chan79]

salut
La première méthode, proposée en premier par mathelot doit de toutes façons être connue des élèves.
Elle permet de résoudre des équations du même genre, plus compliquées comme:

La méthode de Black Jack est évidemment correcte si on vérifie les solutions.