Tri angle

Olympiades mathématiques, énigmes et défis
pascal16
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tri angle

par pascal16 » 01 Déc 2018, 11:08

Problème résolvable au niveau collège, mais qui peut être résolu de différentes façons :
Image

les trois carrés sont identiques
question : a+b+c =?

réponse en anglais
https://www.youtube.com/watch?v=m5evLoL0xwg



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Ben314
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Re: tri angle

par Ben314 » 01 Déc 2018, 11:58

Salut,
Image
Si on tourne le dessin de 90° autour du point A, le triangle ABC donne AB'C' et, comme le triangle ACC' est (par construction) isocèle rectangle en A, on lit sur le dessin que b+c=45°.

Le même raisonnement montre que le "petit angle" (i.e. celui du coté de ) d'un triangle rectangle de cotés et (avec ) a pour complémentaire à 45° le petit angle du triangle rectangle de cotés et .

En "terme savant", ça signifie que que l'on peut aussi démontrer brutalement en utilisant le fait que
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chan79
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Re: tri angle

par chan79 » 01 Déc 2018, 14:06

salut
Légère variante pour la figure de cet exo bien connu, des profs de maths, en tous cas.
Comme cela arrive régulièrement, on arrive à une solution en "noyant" la figure dans une autre, plus grande.

Image

beagle
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Re: tri angle

par beagle » 01 Déc 2018, 14:27

C'est bien joli tout cela.

Mon opinion est la suivante: lorsque le prof de maths montre 3 angles l'idiot regarde les trois angles.
La réponse vient quand on regarde à coté: "mais où qu'il est ailleurs,; mais où qu'ils sont ailleurs dans le cas présent...
L'important est de savoir quoi faire lorsqu'il n' y a rien à faire.

FLBP
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Re: tri angle

par FLBP » 01 Déc 2018, 15:10

Salut,
On peut remarquer que le triangle partant du sommet gauche avec l'angle b et l'angle complémentaire de a est semblable au triangle partant du même sommet et ayant l'angle c et également du complémentaire de a, étant retourné, l'angle b se trouve pris au piège par l'angle a et c dans le coin supérieur gauche.

LB2
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Re: tri angle

par LB2 » 01 Déc 2018, 16:07

J'aime bien aussi cette solution :

(1+i)(2+i)(3+i)=10i qui a un argument de 90°

pascal16
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Re: tri angle

par pascal16 » 01 Déc 2018, 20:33

le lien vidéo donne une méthode géométrique simple, mais pas directe.
Perso, j'ai une préférence pour la méthode de Chan qui utilise un homothétie.

Celle de LB2 peut être posée en S dans le sens : "Pourquoi (1+i)(2+i)(3+i)=10i répond à la question ?

Arctan : est une fonction magique qu'on sous-estime;
_ elle permet de faire un calcul d'angle ou d'argument complexe sans passer par la norme, c'est sans doute la mieux appropriée .
_ on la retrouve pour intégrer 1/(1+x²) dans les fractions rationnelles (elle peut être vue comme un lien entre l'absence de racine réelle et une existence de racine complexe conjuguées)

Au passage, celle qui fait la vidéo a participé aux olympiades de mathématiques au niveau international il y a quelques années en terminant bien classée (il me semble que c'était l'année de la question 6 qui a stoppé net bcp de candidats).

beagle
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Re: tri angle

par beagle » 01 Déc 2018, 21:11

J'aime bien les deux dessins de Ben314 et de chan79, le dessin de la vidéo me parait plus compliqué, plus long ou alors c'est le bavardage qui m'a gavé.
Parce que sur le fond je ne trouve pas nécessaire de conjecturer pour chercher.
Je pense que l'on peut tres bien faire les dessins chercher les angles ailleurs et voir.
Autrement dit la période où je conjecture est un peu perte de temps et donne-t-elle vraiment les cles pour aller mettre du 90. Bon Ok il s'agissait d'une activité en classe avec des petits et on manipule, on découpe, on se dit tient donc serait-ce 90, oui bon …
Donc je pose une question aux profs, ici ou dans un problème équivalent , c'est bien de conjecturer ou on se lance dans le grand bain?
L'important est de savoir quoi faire lorsqu'il n' y a rien à faire.

Imod
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Re: tri angle

par Imod » 01 Déc 2018, 21:22

On n'utilise quasiment plus le parallélisme et l'orthogonalité sur quadrillage et pourtant on peut faire de belles choses en ne regardant que les nœuds . On détruit la géométrie et l'algèbre pour fabriquer des machines utilisant des machines .

Imod

pascal16
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Re: tri angle

par pascal16 » 01 Déc 2018, 22:22

Tu crois que si on passe de carré à losange ou de carré à rectangle, on trouve des relations simples ?

pascal16
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Re: tri angle

par pascal16 » 02 Déc 2018, 11:56

Sous Geogebra, je n'ai pas vu de cas intéressant quand on déformait le repère.
Variante pour finir le WE

Image

A(0,0) B(1,0) C(2,0)
Lieu géométrique de M tel que α+β+γ=90°
Niveau TS, angles orientés

Quand M se rapproche de A, on voit arriver une tangente verticale, aura-t-on une simple parabole ?

( si on utilise les angles aigus non orientés, a-t-on un résultat intéressant ?)

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Ben314
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Re: tri angle

par Ben314 » 02 Déc 2018, 12:39

Je pense que le plus simple pour trouver le lieu géométrique en question, c'est plutôt "la méthode LB2" :

Et les angles , , tels que représentés sur ton dessin (vu comme "positifs") c'est moins les arguments de donc .
Ce qui donne la demi droite et la demi d'hyperbole
(demi hyperbole sur laquelle est situé le points )
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

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Re: tri angle

par pascal16 » 02 Déc 2018, 12:49

Merci Ben pour ta participation.
(-1;1) fait bien parti des solutions.

Perso je trouve cet exo inventé ce matin un peu différent de ceux posés en TS et il demande d'oser un peu plus, ne pas stopper devant un degré 3...

 

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