Convergence de suite et itérations

[Sabrina351]

Bonjour à tous,je poste ce message car je n'ai pas totalement compris le corrigé de l'exercice ci-dessous,surtout à partir de la question 2(b) .Ou comme vous pourrez le voir il est dit que "la suite est convergente si |f1'(x)|<1 mais est-ce de cours ?

Car je ne sais pas pourquoi on dérive cette fonction f1(x).
Mais pour la 2(c) à la 2(e) voici ce que je propose:

2(c) f1(xn)=Ln(2xn+1) =>f1(x0)=Ln(2*x0+1)=Ln(5).
f1(x1)=Ln(2*x1+1)=Ln(11) etc...
jusqu'à f1(x7) car c'est itérations.
pareil pour f2(x).

Et la limite pour les deux suites devrait être plus l'infini comme ce sont des suites croissantes.(issues de fonctions croissantes).



https://nsa39.casimages.com/img/2018/11 ... 551243.jpg

[pascal16]

le 1)

f'(x) = e^x-2
f'(x)=0 <=> x=ln(2)
tableau de variation de f

solutions de f(x)=0 :
x1 =0 est solution solution
x2 : est >ln(2) vu le tableau de variations (vers 1.25 graphiquement)

[pascal16]

Un+1=f(Un)

prérequis :
_ existence des termes
_ continuité de f
condition 1 de convergence (théorème du point fixe ) : f(l)=l et f continue en l (avec des considération de limite finie/infinie/droite/gauche possible)

soit a tel que f(a)=a
|f1'(a)|<1 assure que localement on ait un point attractif, c'est à dire les termes se rapprochent de f(a)=a
|f1'(x)|<1 sur un intervalle assure une convergence sur un intervalle

|f1'(a)|>1 assure que point n'est pas attractif, proche de ce point, les terme de la suite s'en écartent seul le cas Uo=a est convergent, sinon, on s'écart de a.

démo : on regarde |Un+1 - Un| quand |f1'(x)|<1

[Sabrina351]

Merci pascal,tiens je me rend compte que x2 c'est pas égal à 1 comme dans mon corrigé car e^1 est différent de 3.
Même x2=1.25 n'est pas totalement bon pour annulé l'équation.

[pascal16]

Un+1 = f(Un)

deux choses
f croissante => si U1>Uo, Un est croissante car l'ordre est conservé.
f croissante => si U1<Uo, Un est décroissante car l'ordre est conservé.

f1(x0)=Ln(2*x0+1)=Ln(5).
f1(x1)=Ln(2*Ln(5)+1)= pas du tout ln(11)
le tableur donne : f décroissante et semble tendre vers 1.25xxxx

et l'étude de Un+1 - Un, c'est l'étude g(x) =f(x) - x

pou f2, xn tend vers 0

Vérif, x1 et x2 les deux solutions, à ne pas confondre avec x1 et x2 des termes de la suite)
->f1 définie pour x>-0.5, la suite est bien définie car >0, f1 continue, f1(x2)=0 et |f1'(x2)|<2/(2*ln(2)+1)<1
-> f2 définie partout, continue, |f'2(x)|<1 pour x1 mais pas pour x2, convergence vers 0, le choix Uo=2 permet d'avoir une convergence. avec Uo=3, on a un divergence grossière par exemple