SUITE IMPLICITE ET LOGARITHME

[qyjqb]

Salut j'ai trouvé un exercice sur les suites implicites et j'ai quelques difficultés dans la dernière question. J'ai pu résoudre toutes les autres.

L'énoncé:

Soit fn(x)=x-n.ln(x)
définie sur R+ non nul
avec n entier naturel non nul

1)a) Étudier les variations de fn.
Montrer que pour tout n>2
fn(x)=0 admet deux racines positives un et vn,
avec 0 < un < n < vn.

b) Pour n > 2,

Montrer que 1 < un < exp (1)
Montrer que fn(un+1)=ln(un+1)
Montrer que (un) est strictement décroissante et convergente.

c)En encadrant ln(un)
déterminer la limite de la suite (un).
Montrer que n(un − 1) tend vers 1 quand n tend vers +∞.

2)a)déterminer la limite de la suite (vn).

b)calculer fn(n.ln(n)) puis déduire que
pour tout n>2
n.ln(n)>vn

c)Montrer que pour tout x appartient R+ non nul
x>2ln(x)

d)déterminer le signe de fn(2n.ln(n)) puis montrer que pour tout n>2
n.ln(n)<vn<2n.ln(n)

e)Montrer enfin que
vn/n.ln(n)
tend vers 1 quand n tend vers +∞.
(c'est cette question que j'ai pas pu résoudre)

P.S: limite de vn est +infini
et fn(2n.ln(n))>0
la limite de un est 1
même si je ne pense pas qu'il va m'aider

Merci

[Ben314]

Salut,
Dans ce type d'exo., il faut toujours bien garder en mémoire la définition que tu as de qui, ici est c'est à dire soit encore .
Donc ton encadrement "moyennement précis" il te dit aussi que c'est à dire que qui lui est beaucoup plus précis et te permet en particulier d'évaluer la limite de .

[qyjqb]

Ah oui maintenant je peux calculer les limites à gauche et à droite et déduire simplement
Merci pour l'aide et le conseil