Image Directe Polynomes

[Xena]

Bonjour !
J'ai un petit problème pour un exercice dans lequel je dois déterminer le noyau et l'image d'applications linéaires. Pour ensuite en déduire si l'application est injective et/ou surjective.

Je ne sais pas trop comment calculer Im f.
Donc ça serait cool que quelqu'un m'explique :we:

1) f une application de R[X] dans R[X] telle que P -> aP' + P
J'ai trouvé Ker f = {0} donc f est injective

2) f une application de R3[X] dans R2[X] telle que P -> P'
J'ai trouvé Ker f = {0} donc f est injective

3) f une application de R3[X] dans R^3[X] telle que P -> (P(-1),P(0),P(1))
J'ai trouvé Ker f = {-X} donc f n'est pas injective

4) f une application de R[X] dans R[X] telle que P -> P-(X-2)P'
J'ai trouvé Ker f = {P = aX-2a avec P dans R[X] donc f n'est pas injective


Merci d'avance pour votre aide :jap:

[simplet]

Tu veux savoir si tes applications sont surjectives??

Par exemple pour la premiere, prends un polynome quelconque Q dans R[X].
Et demandes toi s'il existe un polynome P de R[X] tel que f(P)=aP'+P=Q

Si je ne dis pas de bétise (qqun pe confirmer?) il suffit de regarder pour un monome quelconque si ca marche. Si oui, ca marchera pour une somme de monomes donc pour un polynome.
Et si ce qui est di plus haut est correct, f est bien surjective.

[simplet]

je ne comprends pas d'ailleurs cette application

2) f une application de R3[X] dans R2[X] telle que P -> P'
J'ai trouvé Ker f = {0} donc f est injective

:

tu peux l'expliciter s'il te plait?

[Xena]

2) f une application de R3[X] dans R2[X] telle que P -> P'

Le 3 et le 2 sont en indice

C'est l'application qui à un polynome de degré 3 associe la dérivée de ce polynome, qui est donc de degré 2

[simplet]

D'une part: regarde mon message plus haut g apporté une modification

D'autre part: c'est les polynomes de degré 3.. ou les polynomes de degré inferieur ou égale à 3 (personnellement je pense que c'est plus ca)??
Si oui, désolé, mais l'application n'est certainement pas injective! Toutes les constantes de R ont des dérivées nulles!

[Xena]

Oui ce sont les polyômes de degrés inférieurs ou égaux à 3

D'autre part, je sais que si la dimension de l'espace de départ est la même que celui d'arrivée, alors si l'application est injective alors elle est surjective et donc bijective.

Mais lorsque la dimension n'est pas la même, je ne sais pas comment justifier la surjectivité, c'est ça mon problème en fait.

[simplet]

Oui ce sont les polyômes de degrés inférieurs ou égaux à 3

D'autre part, je sais que si la dimension de l'espace de départ est la même que celui d'arrivée, alors si l'application est injective alors elle est surjective et donc bijective.

Mais lorsque la dimension n'est pas la même, je ne sais pas comment justifier la surjectivité, c'est ça mon problème en fait.

La dimension de R[X] est infinie (d'une part)
et celles de R3[X] de R2[X] n'est pas la même (d'autre part),
ta technique ne fonctionne donc pas ici !!

Pour montrer la surjectivité il faut trouver "le" l'antécédent qui marche, avec un peu de gymnastique!