Valeur approchée sans calculatrice

[MatmatFr]

Bonjour, je dois déterminer une valeur approchée de 4.01 x 1,99^3

C'est dans mon chapitre sur l'approximation affine mais je ne vois pas comment attaquer cet exercice ^^

Merci d'avance pour votre aide !

[pascal16]

4.01 x 1,99^3 = 4.01 x (2-0.01)^3
on fait un développement à l'ordre 1 de (2-0.01)^3

[Ben314]

Salut,
Si on veut que ce soit "parfaitement dans les clous" de la notion d'approximation affine, j'aurais tendance à proposer ça comme solution :
Pour tout réel on pose .
Déterminer l'approximation affine de pour proche de .
En déduire la valeur approximative de

[MatmatFr]

Mais pour utiliser l'approximation affine, on a besoin de calculer f(a) or on ne le connaît pas si ? De +, pourquoi pour x proche de 2 ?

[pascal16]

il me semble qu'ensuite tu passes par :
f(0+0.01)≈f(0)+f'(0)*0.01

[MatmatFr]

Honnêtement je ne comprends pas comment cela peut permettre d'arriver au résultat. Parce qu'après avoir calculé f(0) = 32 je ne vois pas comment faire

[mathelot]

[LB2]

Honnêtement je ne comprends pas comment cela peut permettre d'arriver au résultat. Parce qu'après avoir calculé f(0) = 32 je ne vois pas comment faire

Il s'agit de déterminer l'équation de la tangente en x0=0 à la fonction f(x)=(4+x)*(2-x)^3

et d'appliquer le résultat avec h=0.01

[MatmatFr]

Je suis désolé mais c'est toujours aussi flou pour moi parce que das mon cours ce que j'ai c'est : f(x) = f(a) + [gradf](a) *(x-a) mais je ne connais ni le a et je ne vois pas comment calculer le gradient sachant que j'ai seulement x (et pas x1 et x2)

Merci de ta réponse Mathelot mais à quoi sert ce développement ? Et à quoi correspond o(x) ?

[LB2]

On est en dimension 1 : gradf(a)=f'(a). Le nombre dérivé en a.

C'est l'équation de la tangente qui est vue au lycée.

[MatmatFr]

Donc si je comprends bien j'aurais f(0+0.01) ≈ 32 - 40 * 0.01 = 31.6 ?

Le résultat me semble cohérent mais je n'ai pas réussi à dériver seul f(x)

[aviateur]

Bonjour
Ce qui est gênant dans cette exercice c'est son incomplétude. En effet, calculer une valeur approchée sans majoration de l'erreur et bien cela n'a pas de sens.
Autrement dit il serait normal de savoir répondre à

[MatmatFr]

Bonjour
Ce qui est gênant dans cette exercice c'est son incomplétude. En effet, calculer une valeur approchée sans majoration de l'erreur et bien cela n'a pas de sens.
Autrement dit il serait normal de savoir répondre à

Je ne sais pas mais en tout cas j'ai mis l'entièreté de l'énoncé lors de mon premier message

[LB2]

Bonjour
Ce qui est gênant dans cette exercice c'est son incomplétude. En effet, calculer une valeur approchée sans majoration de l'erreur et bien cela n'a pas de sens.
Autrement dit il serait normal de savoir répondre à

Je suis tout à fait d'accord avec toi, un énoncé plus correct serait :

- donner l'approximation affine de f en 0 avec h=0.01, et l'écart relatif entre f(h) (vraie valeur) et f(0)+hf'(0) (valeur donnée par l'approximation affine) , en %

[Ben314]

Autrement dit il serait normal de savoir répondre à

Oui et non : sur le principe, évidement que d'écrire ça n'a pas de sens mathématique, mais je pense que c'est pas complètement idiot de faire "appliquer" la vrai égalité mathématique avec "un vrai h" en considérant uniquement (dans un premier temps) que ça donne une "approximation" sans rentrer dans les détails (plus compliqués) concernant la précision de cette "approximation".

Bref, c'est pas très formel, mais je trouve pas ça idiot, quitte à faire uniquement calculer à la calculette la vrai valeur pour constater qu'on est effectivement pas loin du compte.

[aviateur]

Bonjour
Je précise mon propos. L'exercice est intéressant car c'est très pratique de pouvoir calculer une valeur approchée comme ça, disons de tête et ici grâce à l'approximation affine. C'est ce qu'on fait souvent dans la vie de tous les jours pour obtenir un ordre de grandeur d'une quantité.
Mais ce que j'aime bien dans un second temps c'est tout de même de savoir majorer l'erreur.
Quand je dis qu'il est incomplet, c'est uniquement de mon point de vue où savoir majorer l'erreur est important.
Bien entendu je ne connais pas les contraintes de l'enseignant mais dans la mesure du possible c'est bien de demander cette majoration.
De façon générale l'analyse numérique consiste en ces 2 étapes.
On calcule la valeur approchée de la solution d'un problème (qui en général on ne sait pas trouver exactement la solution) et la deuxième étape consiste à estimer l'erreur en sachant qu'a priori on ne connait pas la solution exacte.
avec cet exemple on a
Avec une calculatrice on voit que |f(0,01)-31.6012|=0.00120199..(que je qualifie d'erreur exacte) Dans la pratique on ne sait pas calculer la valeur exacte, i.e on n'est pas censé connaître f(0,01), donc on ne connait pas l'erreur exacte.
alors on essaie de majorer l'erreur par exemple grâce à Taylor Lagrange
pour trouver finalement
C'est cette majoration que je trouve intéressant à rechercher quand c'est possible dans un tel exercice.