Base vectorielle 3

[Anaisdeistres]

Bonsoir

a) Soient dans le R-e.v. R4 les vecteurs u = (1,5,−2,0) et v = (0,−2, 3/2, 7/2). Montrer que w =(1,8,-17/4,-21/4) appartient à Vect(u,v).

Je montre que (u,v,w) libre et forme une base donc w appartient à Vect(u,v) ?

Merci.

[Bigorneau]

Ben non, précisément le contraire à vrai dire... c'est l'ensemble des combinaisons linéaires finies de et . Bref faut trouver tel que .

[pascal16]

u = (1,5,−2,0) et v = (0,−2, 3/2, 7/2). Montrer que w =(1,8,-17/4,-21/4)

si au + bv = w
la première coordonnée impose a=1
la dernière coordonnée impose b=...
reste juste à vérifier que les deux autres coordonnées vérifient l'équation.

[Anaisdeistres]

Ok merci

[Anaisdeistres]

Ensuite je dois montrer que Vect(u,v)=Vect(w,t) je fais la même méthode ici c'est à dire a(u)+b(v)=c(w)+d(t) ?

Merci

[pascal16]

je ne sais pas ce qu'est t, mais, oui, c'est le principe
un vecteur est dans vect(u,v)
<=> il existe a et b tel que
a(u)+b(v)

cherchons c et d tel que
c(w)+d(t) = a(u)+b(v)
c'est à dire a et b sont des paramètres et on doit trouver que
c=f(a,b)
d=g(a,b)

Mais il y a un peu plus simple et plus dans le fil des questions :
si w=a(u)+b(v) et t=a'(u)+b'(v) alors vect (w,t) ⊂ vect(u,v) car chaque combinaison linéaire de l'ensemble des combinaisons linéaires de w et t s'écrit comme comme combinaison linéaire de u et v.
Et s'il sont tous les deux de dimension 2, ils sont identiques.

[Anaisdeistres]

A oui merci beaucoup j'ai bien compris

[Anaisdeistres]

on me demande de determiner une base de l'intersection de F et G, F est engendré par (v,u) ou u=1;-1;0;2 et v=2;1;3;1. G est engendre par (w;x) ou w=1;1;1;1 et x=3,-4,4;2 je vous prie de bien vouloir m'aider

[pascal16]

explication géométrique
(v,u) ou u=1;-1;0;2 et v=2;1;3;1. G est engendre par (w;x) ou w=1;1;1;1 et x=3,-4,4;2
Vect(u,v) est un plan
Vect(w,x) est un plan
l'intersection de deux plans non confondus est une droite.
le point (0,0,0) est forcément dans chaque plan vectoriel, on a pas d'intersection vide, l'intersection peut éventuellement être le plan entier

on peut passer par : un vecteur est dans l'intersection, on a deux écritures possibles :
av+bv=cw+dx
le système 4*4 n'est pas inversible, il te donne une liaison entre a,b,c et d
puis tu regarde quelle famille de vecteur tu génères avec a et b (qui doit être la même qui c et d)
la calculette trouve comme moi à la main (la résolution loge sur un format A5) : (a,b,c,d)= (-2-3,5,1)
Je te laisse réfléchir pour quel est alors un vecteur du ss ev commun

[Anaisdeistres]

A oui d'accord merci beaucoup oui je vais trouver a,b,c et d. Mais une fois que j'ai trouver a,b,c et d pour trouver une base comment je fais ? Merci

[pascal16]

c'est la liaison entre a,b,c et d qui est importante

av+bv=cw+dx
va devenir
(av+bv)=(cw+dx) = un vecteur dépendant de d par exemple
c'est à dir
d non défini
c=f(d)
b=g(d)
a=h(d)
or un espace vectoriel, c'est : un vecteur dépendant de d par exemple
si on pose d=1, on aura un vecteur non nul du ssev, il sera générateur.