Montrer que la dim V/W = dim V - dim W

[oxsase97]

Bonsoir chers amis mathématiciens,
Je n'arrive pas à résoudre un problème de math qui est présent dans mes séries. Une petite aide de votre part ne sera pas de trop. On a V un espace vectoriel de dim fini et W un sous espace vectoriel et soit V/W l'espace quotient.
Tout d'abord, qu'est que l'espace quotient?
Ensuite, je dois d'abord trouver une base de V/W sans aucune information supplémentaire... et après montrer que dim V/W = dim V - dim W.

Merci d'avance les amis
Bonne soirée

[aviateur]

Bonjour
Prenons un exemple simple

La relation R dans V définie par u R v ssi est une relation d'équivalence. L'espace quotient V/W et l'ensemble des classes d'équivalences pour la relation R. C'est un e-v vectoriel pour les opérations + . induites par les opérations + . de l'ev initial V (opérations compatibles avec la relation R)

Dans l'exemple (a,b,c) \R (a',b',c') ssi b=b' et c=c'

Pour u=classe (a,b,c) \in V/W on fait correspondre v=f(u)=(0,b,c). C'est un isomorphisme de V/W dans un supplémentaire de W. D'où dim V/W= dim V -dim W=2

[oxsase97]

Je suis pas sur d'avoir encore tout compris mais ça m'aide déjà bien. Merci

Bonne soirée

[LB2]

Bonsoir,

je ne suis pas expert en espace quotient mais il me semble que pour les espaces vectoriels, on peut trouver un isomorphisme (non unique) entre V/W et un supplémentaire de W dans V.

Cordialement

[oxsase97]

Je vois merci. Petite dernière chose, a quoi pourrait correspondre la base de V/W?

[LB2]

Attention : ne jamais dire LA base ou LE supplémentaire, mais UNE base ou UN supplémentaire.

Il y a une infinité de choix! Choisir une base d'un supplémentaire de W dans V revient à compléter une base de W en une base de V (théorème de la base incomplète).

Ce n'est pas du tout comme le complémentaire d'un ensemble. C'est une grosse erreur de penser qu'il y a unicité.