Démonstration

[Georges10]

Soit a et b deux réels tels que 1 < a < b. Existe t-il un c ∈ ] a, b [ tel que lna/lnb = exp ( (a-b) /cln(c) ) ?

J'aimerais savoir comment répondre à ce genre de question en analyse.
S'il était question de montrer que l'expression est vraie, là au moins on aurait eu recours aux théorèmes, axiomes, propriétés. Mon problème est qu'ici je ne sais pas si l'expression est vraie ou fausse donc il m'est difficile d'orienter ma démonstration.

Merci d'avance et bonne soirée !

[pascal16]

l'existence d'un c peut supposer un TVI, un TAF.
mais on a du exp et du ln, donc de la fonction réciproque et de l'existence par bijection
si on voit pas, on étudie une fonction qui chercher c et qui va utiliser le tvi

aucun des nombre, des différences, des ln() peut être nul, ça aide pour les calculs

[Aispor]

Salut, je sais pas si c'est dans la même idée que Pascal, mais il est vrai que je me serais ramené à une fonction :





Ps : ce n'est pas dis que je n'ai pas compliqué le problème xD

[aviateur]

Bonjour
La fonction f(c)=exp((a-b)/(c ln(c) ) est évidemment strictement croissante sur [a,b]
(en effet a>1 et b-a<0).
Donc si f(a)<ln(a)/ln(b)<f(b) , il existe un et un seul c solution.
Maintenant cette inégalité est vraie car en passant au log, elle est équivalente
à (a-b)/ln(a)< ln(ln(a))-ln(ln(b))<(a-b)/ ln (b)
encore équivalent à 1/ln(b)< [ln(ln(a))-ln(ln(b))]/(b-a)<1/ln(a)
et cette dernière égalité est vraie grâce au th des accroissements finis.

[Georges10]

Salut, je sais pas si c'est dans la même idée que Pascal, mais il est vrai que je me serais ramené à une fonction :





Ps : ce n'est pas dis que je n'ai pas compliqué le problème xD

Bonjour,
Pour ma part, tu devrais justifier l'existence d'une racine avant d'affirmer que f s'annule au moins une fois.
Ce faisant, j'ai calculer la dérivée, cette qui s'annule en 1/e. Mais 1/e n'appartient pas à l'intervalle ]a, b[ car 1/e ‹ 1 donc on ne peut pas calculer son image dans le tableau de variation de f.
Je pense que si on arrivait à justifier l'existence d'une racine alors le problème serait résolu.

Merci.

[Georges10]

Bonjour à tous.
Merci de me répondre.
On sait que lna/lnb = exp ( (a-b) /cln(c) ) ‹=› cln(c) = (a-b) / ( ln(lna) - ln(ln(b))
Donc voici ce que j'ai fait, et si je n'ai pas fait d'erreur, je crois que ça marche.


Merci et bonne journée !

[Ben314]

Salut,
Perso, il me semble quand même qu'arrivé à ça :

Ca devrait quand même "sauter au yeux" qu'il suffit d'appliquer le T.A.F. à la fonction

[aviateur]

Bonjour
Oui avec le TAF, mais @ben regardes bien mon message: c'est exactement ce que j'ai dit mais avec l'unicité de c en plus et cela saute aux yeux aussi!!

[Georges10]

Merci pour vos réponses !