Suite Bornée d'un ensemble non compact

[Kingudamu]

Bonjour, Je cherche à montrer:



=> Supposons que Xn est bornée alors il existe A >0 tel que |Xn|<A quelque-soit n dans |N.
Xn étant bornée, on peut extraire 2 sous-suites (selon le théorème de Bolzano-Weierstrass) telle que quelque-soit n dans |N.

<= Supposons qu'il n'existe pas de sous-suite Xnk telle que |Xnk| --> infini
i.e 2 sous-suites ne tendent pas vers l'infini et sont donc bornées. Il existe donc A1>0 et A2>0
telle que quelque-soit n dans |N.
soit A = Max(A1, A2), alors on a |Xn|<A et donc Xn est une suite bornée.

[pascal16]

attention aux notations, il existe une infinité de suite extraite Xnk
maintenant que tu sais qu'il y a un nombre infini de suites extraites, ça va être dur de trouver un majorant

sens => l'écriture simple de la convergence de de Xn impose la convergence de chaque Xnk

sens <= le sens direct est un peu plus fin car il faut bien comprendre que l'ensemble des Xnk n'oublie aucun Xn. La contraposée est elle plus simple mais pas directe il me semble.

[Kingudamu]

Avec la contraposée:
Supposons qu'il existe une sous suite (Xn)k telle que lim ||Xnk|| = Infini
Quelque-soit c >0, il existe un k tell que ||Xnk|| ⩾ c
donc Il n'existe pas de c >0 telle que la sous-suite Xnk appartient à la boule B(c,0) quelque-soit k dans |N
donc il existe pas c > 0 tel que Xn appartient à la boule B(c, 0) quelque soit k dans |N

[pascal16]

il me semble que c'est la contraposée du sens => facile à faire, manque toujours le sens <=