Image directe- Image réciproque

[Georges10]

Bonsoir à tous.

Soit l'application f : R ---› R, x |-----› x²
on demande de calculer f({0})

Selon moi, on doit calculer l'image du complémentaire de R* dans R par la formule f( complementaire de R* dans R) = complementaire de f(R*) dans R .
Est ce correct ?
Autre chose, j'aimerais savoir, par exemple si on devait calculer f⁻¹({3}), est ce qu'il faut nécessairement que f soit bijective ?


Merci d'avance !

[mathelot]

Autre chose, j'aimerais savoir, par exemple si on devait calculer f⁻¹({3}), est ce qu'il faut nécessairement que f soit bijective ?


Merci d'avance !

non, pas nécessairement. est l'ensemble constitué des antécédents de 3.

[pascal16]

au collège, on voit cette notion par du coloriage de courbe

f(]-3;1]) = [0;9[

[Ben314]

Salut,

Selon moi, on doit calculer l'image du complémentaire de R* dans R par la formule f( complementaire de R* dans R) = complementaire de f(R*) dans R .
Est ce correct ?

Ca, c'est "pire" qu'un bulldozer pour écraser une mouche....
Si f est une application de X dans Y et A une partie de X, alors l'image directe de A par f notée f(A), c'est (on ne peut plus bêtement...) l'ensemble des images par f des différents éléments de A.
Et si y'a qu'un seul élément dans A, ben y'a bien évidement qu'une seule image à calculer !!!!!!!
Bref, l'image directe du singleton {a}, ben c'est on ne peut plus bêtement le singleton {f(a)} épicétout.

Et si je dit que "c'est pire" qu'un bulldozer, c'est qu'en général, quand on emploie cette expression, ben au moins, le bulldozer il écrase effectivement la mouche. Alors que là, c'est non seulement complètement stupide, mais en plus... c'est faux vu que l'image du complémentaire d'une partie, c'est en général pas égal au complémentaire de l'image. Par exemple, pour reprendre cette bête fonction x->x^2, il est évident que l'image directe de R+ c'est R+ et que l'image directe du complémentaire de R+, à savoir R*-, c'est R*+ donc pas du tout du tout le complémentaire de R+.

[Georges10]

non, pas nécessairement. est l'ensemble constitué des antécédents de 3.

Mais on parle d'application réciproque ssi il y'a bijection non ?

[Georges10]

Merci ben314 pour ta réponse.

[Ben314]

Autre chose, j'aimerais savoir, par exemple si on devait calculer f⁻¹({3}), est ce qu'il faut nécessairement que f soit bijective ?

NON : la même notation, à savoir sert à désigner deux chose distinctes :
1) La bijection réciproque de f lorsque f est bijective où, pour y dans B (si f va de A dans B), désigne l'unique antécédent de .
2) L'image réciproque d'une partie B de Y qui est l'ensemble de tout les antécédents de tout les éléments de B, c'est à dire l'ensemble des x de A tels que f(x) soit dans B. Et dans ce cas là, bien sûr rien ne dit que f est bijective.

Et c'est pas vraiment gênant que la même notation désigne deux trucs différents vu que le contexte permet de savoir de qui il s'agit :
- Si c'est (élément_de_B), c'est qu'on parle de bijection réciproque.
- Si c'est (partie_de_B), c'est qu'on parle de l'image réciproque.

[mathelot]

bonjour,
soit
soit

et



peut on construire un foncteur avec ces applications ?
est ce que les ensembles de parties forment une catégorie ? comment les caractériser ?

[Ben314]

Pour moi, les questions "intéressantes" concernant et , c'est sûrement pas (dans un premier temps) de savoir si c'est ou pas des "catégories" ou des "foncteurs" c'est à dire de savoir si ça rentre ou pas dans le cadre d'une définition théorique totalement inconnue de l'étudiant "de base" de L1 (vu que de toute façon, la définition de ces concepts, c'est à peu prés sûr que ça va lui passer au dessus du chapeau).

Par contre on peut, bien plus bêtement, se poser (en vrac) les questions suivantes :

1) a) Si , peut on écrire en fonction de et ?
b) et en fonction de et ?

2) a) Que peut on dire de ? A quelle condition est-ce l'identité de ?
b) Même question pour .

3) Quels liens y-a-t-il en général entre l'injectivité/surjectivité/bijectivité de , celle de et celle de ?
(donner la liste de TOUTES les implications systématiquement vraies quelque soient et )

4) a) Partant d'une certaine fonction , à quelle condition (sur ) existe-t-il une fonction telle que ? Si une telle fonction existe, est-elle unique ?
b) Partant d'une certaine fonction , à quelle condition (sur ) existe-t-il une fonction telle que ? Si une telle fonction existe, est-elle unique ?
c) Si on sait que pour une certaine fonction est-il possible de "reconstruire" facilement à partir de sans "redescendre à " ?
d) Et dans l'autre sens ?

[mathelot]

1)a)
Si



2)a)
:



Hypothèse: f injective
alors


Hypothèse: f non injective
Il existe x,y dans E tels que

alors

donc


on obtient l'équivalence:

[mathelot]

2)b)



Hypothèse: f surjective


Hypothèse: f non surjective
soit sans antécédent.
soit
alors




on obtient l'équivalence:

[mathelot]

3)
Hypothèse: injective.
alors f est inversible à gauche:
il existe
mézalor

donc est injective.
d'où on obtient l'implication:


hypothèse : injective
supposons f(x)=f(y) avec x,y dans E
alors



d'où on obtient l'implication:

puis l'équivalence

[Georges10]

Merci pour vos réponses!

[mathelot]

suite de la question 3)

montrons l'équivalence:


hypothèse: f surjective
alors f est inversible à droite
il existe telle que

d'où

donc est surjective


hypothèse: surjective


soit
alors
donc f est surjective

[mathelot]

suite question 3
Montrons l'équivalence


Hypothèse: f injective
alors f admet un inverse à gauche
il existe telle que:

d'où

donc est surjective

Hypothèse: surjective
avec comme définition


soit
il existe telle que:

donc V est un singleton

soit
il existe telle que:

donc W est un singleton

si
alors
d'où

d'où
donc f est injective.

[mathelot]

suite question 3

Montrons l'équivalence


Hypothèse: f surjective
alors f est inversible à droite
il existe h : telle que

d'où

donc est injective.

Hypothèse: f non surjective
il existe sans antécédent.
d'où

donc n'est pas injective

[mathelot]

remarque 1: on distingue un élément de son singleton

remarque 2: on souhaite que soit une application de P(E) vers P(F).
Il faut donc que l'ensemble vide ait une image par on convient donc
que
De même, pour que soit une application, on pose, pour vérifiant
.
On a donc:

[mathelot]

4)a)

Soit
existe-t-il une application telle que ?

Considérons une fonction de choix, ab , qui à tout ensemble non vide A ,associe un élément de A:



en particulier, sur les singletons, on obtient:

(ab pour ablation des accolades)

unicité de f:
soit telle que
on a;

f, si elle existe, est donc unique.

existence de f:
on pose (on définit) f par


D'après l'identité entre ensembles





En conclusion, étant donné de P(E) vers P(F),
il existe telle que si vérifie
les trois conditions suivantes:


pour tout est un singleton
pour toute famillede

[mathelot]

bonsoir,
quelqu'un pour valider ces résultats ?

[Ben314]

Ca me semble O.K. sauf un petit bug là, il me semble :

Hypothèse: surjective
avec comme définition


soit
il existe telle que:

donc V est un singleton

A priori, je ne vois pas bien pourquoi V doit être un singleton, mais par contre on a bien .
Et si on f(y)=f(x) pour un certain , alors évidement donc c'est à dire .

En conclusion, étant donné de P(E) vers P(F),
il existe telle que si vérifie
les trois conditions suivantes:


pour tout est un singleton
pour toute famillede

A la limite, là, tu peut te passer de la première condition vu que c'est le cas particulier de la troisième avec .