Polynôme annulateur

[Apockalipso]

Bonsoir !

Voici mon problème, j'ai une matrice A=
(3 4 -1)
(5 4 1)
(-5 -4 -1)

Et on admet qu'elle vérifie l'équation A^3 = 6A² + 16A. Je dois en déduire un polynôme annulateur (Quèsaco ??) f tel que f(A) = 0. De ce que j'ai pu voir un peu sur internet, j'ai pensé que le calculé était :
3 x la matrice A = 6 x la matrice A + 16 fois la matrice A. Ce qui me parait fortement bizarre.
Je vous remercie pour l'attention que vous y porterez.
Bonne soirée !

[aviateur]

Bonjour
C'est étonnant, il n'y a rien à faire: on te donne la réponse!!!

et en réfléchissant un peu c'est le polynôme minimal.

[Apockalipso]

d'accord, donc mon polynôme annulateur de f tel que f(A) = 0 est tout simplement f(x) = x^3 - 6x² - 16x ?

[aviateur]

oui, d'ailleurs tu peux vérifier que c'est

[Apockalipso]

D'accord très bien ! Je vous remercie de votre aide !

[LB2]

Bonsoir,

vérifier que P(X)=X^3-6X^2-16X est annulateur de A est facile, c'est donné dans l'énoncé.

Pour montrer que le polynôme caractéristique de A est égal à P, c'est un calcul de déterminant 3x3.

Pour montrer que c'est le polynôme minimal de A, c'est un peu plus subtil, il faut factoriser P, ce qui est possible ici, et montrer que les valeurs propres sont simples