Analyse L2
Olympiades mathématiques, énigmes et défis
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Ben314
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par Ben314 » 11 Nov 2018, 20:51
Salut,
Une petite colle très scolaire (*) d'analyse niveau L2 (il me semble) dont le résultat est sûrement "archi classique" :
Soit
_{n\geq 0})
une suite complexe.
1) On suppose que
et que
.
A-t-on forcément
?
2) Réciproquement, on suppose que
.
a) La suite
est-elle forcément convergente ?
b) Lorsqu'elle l'est et que
a-t-on forcément
?
(*) Tirée de là :
superieur/delta-aitken-t200373.htmlQui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
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pascal16
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par pascal16 » 11 Nov 2018, 21:02
private joke : je suis nul en espagnol.
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aviateur
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par aviateur » 12 Nov 2018, 13:46
Bonjour
J'ai regardé comme ça à la louche donc sous réserve
Je réponds oui pour la question 1.
Et oui pour la question 2.a (on doit pouvoir montrer que c'est une suite de Cauchy.
Ce qui m'intéresse c'est la réponse du 2.b. J'aurai bien conjecturé que la réponse est non mais je n'arrive pas à trouver le contre-exemple. comme par ailleurs je n'arrive pas à montrer que c'est vrai!!?
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MMu
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par MMu » 15 Nov 2018, 09:35
Je réponds oui partout ..
1)
2.a)
(\lambda+c_n))
avec
Il s'ensuit
\prod_{k=0}^n(\lambda+c_k))
Et ensuite
\sum_{i=0}^n\prod_{k=0}^i(\lambda+c_k))
La convergence de
est assurée puisque
et
2.b)
On a
\sum_{i=0}^{\infty}\prod_{k=0}^i(\lambda+c_k))
}{\sum_{i=n}^{\infty}\prod_{k=0}^i(\lambda+c_k)}=(\lambda+c_{n+1})\frac {1+\sum_{i=n+2}^{\infty}\prod_{k=n+2}^i(\lambda+c_k)} {1+\sum_{i=n+1}^{\infty}\prod_{k=n+1}^i(\lambda+c_k)})
Mais
}\rightarrow 0)
et finalement
.. q.e.d
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Ben314
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par Ben314 » 15 Nov 2018, 12:42
Nickel.
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
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