Bonsoir à tous,
Dans un problème de physique, je suis amené à résoudre l'équation de Bessel d'ordre 0 :
où est une fonction de mon problème à déterminer.
Je trouve une première solution par la méthode de Frobenius dans un voisinage de 0 :
Je suis supposé déterminer une seconde solution avec Wronskien, et j'obtiens comme indication d'effectuer une intégration terme par terme et que cela ferait apparaître la série harmonique.
La seconde solution par Wronskien me dit que :
En posant , j'obtiens :
De sorte qu'on ait :
J'essaie ensuite de faire monter ce vilain dénominateur avec le binôme, mais j'obtiens un truc catastrophiquement horrible et l'intégration terme à terme semble juste impossible (je suis en cas très très loin de la "série harmonique"). Le binome me fait juste apparaître la fonction de Bessel d'ordre 0 - 1 élevés à toutes les puissances.
J'ai déjà eu du mal à obtenir la formule pour , alors je me dis que ce serait impossible de trouver toutes les puissances ... à moins qu'il y ait une astuce ?
Merci d'avance pour vos conseils,
Bonne soirée
Edit :
La solution à obtenir serait :
avec les coefficients du D.S.E de et la série harmonique.
J'en suis toujours hypra méga loin, je fais sortir ce terme en "ln" mais le reste : pas du tout.