Démontrer qu'un nombre est un carré parfait

[JasonG]

Bonjour à toute l'équipe de Maths-Forum,

Comment démontrer que tous les nombres de la forme suivante sont des carrés pafaits:
41-5
4411-55
444111-555
44441111-5555
...
et ainsi de suite.

Quelle direction dois-je prendre?
En vous remerciant d'avance!

[pascal16]

44=11*4
55=11*5
je pense qu'on peut modifier l'écriture pour extraire une formule qui ressemble à un carré

[JasonG]

Chacun des carrés peut s'écrire de la forme:
6²
66²
666²
...

J'ai éssayé de voir s'il était possible d'écrire les expressions sous la forme (a-b)² avec a-b=666... mais je ne suis pas arrivé a grand chose.
J'ai également essayé de faire un raisonnement par récurrance en démontrant la propriété suivante:


Mais ça a l'air compliqué

[nodgim]

Je n'arrive pas à comprendre la forme des nombres 41-5. Le tiret remplace un chiffre quelconque ?

[JasonG]

Je voulais dire:

[JasonG]

Non, le tiret est une soustraction

[JasonG]

Décidément;

[nodgim]

Basiquement, les carrés de 666...sont de la forme : 44......4444355555.....5556, et les soustractions proposées également. Maintenant, il y a peut être une preuve plus propre.

Ta formule est certainement bonne, mais quel lien avec 44....11... - 55.... ?

[JasonG]

En fait 44...11... - 55... peut s'éxprimer par

[JasonG]

et (66...)² par

[nodgim]

J'ai calculé séparément l'expression proposée 444....111...-555...d'une part et les carrés de 666... d'autre part, et j'ai obtenu dans les 2 cas :
4/9 ( 10^2n - 2 * 10^n + 1)

[JasonG]

oh puréé, c'est beau!!! Je me disais que ca pouvait etre une histoire d'identité remarquable. Mais comment as-tu trouvé ça? Par quel génie?

[Black Jack]

suite : Vn : 1 , 11 , 111 ...

V(n+1) = (10.Vn + 1) avec V1 = 1
Ce qui donne: V(n) = (1/9)*(10^n - 1)

suite : Un : 40 , 4400 , 444000 ...
U(n) = 4 * V(n) * 10^n
U(n) = (4/9)*(10^n - 1) * 10^n

Suite W(n) = 5 , 55 , 555 ...
W(n) = 5*V(n)
W(n) = (5/9)*(10^n - 1)

V(n) + U(n) - W(n) = (10^n - 1) * (1/9 + 4/9 * 10^n - 5/9)
V(n) + U(n) - W(n) = (4/9)*(10^n - 1) * (10^n - 1)

V(n) + U(n) - W(n) = (4/9)*(10^n - 1)² = [(2/3) * (10^n - 1)]²

Qui est donc un carré parfait quel que soit n de N*

[aymanemaysae]

Bonjour;

Pour , les nombres en question sont de la forme :



, donc ce sont des carrés parfaits .

[JasonG]

Merci beaucoup pour toute vos réponses, c'est super sympa de voir des passionnés aussi impliqués. Encore un grand merci à toute l'équipe!!! Je vous aime

[Ben314]

Salut,
D'un autre coté, on peut pas dire qu'il y ai bien besoin d'une quelconque théorie dans un tel truc :