Vu que ça s'enterre un peu, je peut donner le majorant que je connais :
Si on est sur un rectangle de
ligne par
colonnes, alors, s'il y a
pierres sur la première ligne, ça signifie qu'il y a
couples de pierres sur cette ligne. Idem pour les autres lignes avec
Et le "théorème des tiroirs" nous dit que, si la somme de ces nombres de couples dépasse strictement le nombre total de couple faisable sur une ligne, c'est à dire
, ça signifie qu'il y a deux lignes distinctes portant le même couple de pierres, c'est à dire qu'il y a un rectangle de 4 pierres.
Donc si on veut qu'il n'y ait pas de rectangles, il faut obligatoirement que
c'est à dire que
avec
qui est le nombre total de pierre.
Sauf que, même dans le cas où
et où
est entier (ce qui est le cas de
), ce majorant n'est pas optimum : dans ce cas, il faudrait exactement le même nombre de pierres par lignes (pour que Cauchy-Schwarz soit une égalité) et il faudrait aussi que tout les couples de pierres apparaissent exactement une fois sur une des lignes, mais ça coince...