Somme des colonnes d'une matrice inversée

[Gexo]

Bonjour à tous,

Petite question d'algèbre: quelqu'un sait-il s'il existe une relation entre la somme des colonnes d'une matrice carrée et la somme des colonnes de son inverse ?

Merci par avance si quelqu'un peut m'aider !

En vous souhaitant une bonne journée,
Gexo.

[aviateur]

Bonjour
Quelle question? J'en suis à me demander d'où ça vient!

Mis à part des éléments manquants, cette question est saugrenue car il n'y a aucune relation.

[Gexo]

Bonjour aviateur,

Il s'agit d'un calcul d'équilibre de Nash. Je cherche à calculer . L'inverse de la matrice est difficile à calculer mais ce n'est pas directement ce que je cherche. Je me demande si, bien que l'inverse soit difficile à calculer, la somme des colonnes ne serait pas plus facile, par hasard.

[aviateur]

Bonjour
Alors c'est toujours pareil, il n'y a pas de relation a priori.
Eventuellement vue ta question, tu pourrais donner ta matrice M et dire exactement ce que tu veux calculer. Peut-être que l'on pourra de donner une réponse.
De toute façon une réponse formelle n'est pas toujours possible mais une réponse numérique oui

[Ben314]

Le truc que j'utilise on ne peut plus fréquement dans ce contexte ('équilibre de Nash) si je n'ai pas de machine, ben c'est juste qu'au lieu de calculer , j’écris (puis je résous) le système
C'est parfois bien plus simple.

[Gexo]

Bonjour
Alors c'est toujours pareil, il n'y a pas de relation a priori.
Eventuellement vue ta question, tu pourrais donner ta matrice M et dire exactement ce que tu veux calculer. Peut-être que l'on pourra de donner une réponse.
De toute façon une réponse formelle n'est pas toujours possible mais une réponse numérique oui

Il me semblait, à la vue des matrices 2*2, que la relation ne devait pas être évidente en effet, mais j'avais quelque espoir.

L'une des matrices à première vue les plus aisées dont j'ai à calculer l'inverse est la suivante, de dimension et pour (aussi petit que désiré):

.
Mes calculs ne sont pas encore terminés, mais je pense y arriver en l'écrivant comme une somme infinie (finie en fait, à cause des matrices nilpotentes). Cependant, il ne s'agit que d'un seul des cas que je dois traiter, les autres étant avec le cas des telles matrices trigonales symétriques à coefficients positifs et négatifs sur les . Pour ces cas-là, je ne pense pas qu'il soit possible de procéder ainsi. D'où ma question sur la somme des colonnes; mais s'il n'y a pas de relation entre les deux, tant pis; je vais devoir me contenter des quelques inversions qu'il me sera possible de calculer. Merci à vous deux pour vos réponses.

PS : Ben314, je ne comprends pas ta méthode. Résoudre , n'est-ce pas calculer ?

[LB2]

Bonjour,

résoudre un système linéaire est (parfois) bien plus simple que calculer l'inverse de la matrice M, car tu n'a en réalité pas besoin de calculer M-1, mais simplement l'image par M-1 du vecteur (1,1,1.....,1)

[Gexo]

Bonjour,

résoudre un système linéaire est (parfois) bien plus simple que calculer l'inverse de la matrice M, car tu n'a en réalité pas besoin de calculer M-1, mais simplement l'image par M-1 du vecteur (1,1,1.....,1)

Ah oui, en effet. Tiens, je n'y avais pas pensé. Merci LB2 et Ben314 pour cette suggestion, c'est ce que je vais faire.

Merci beaucoup pour ce rappel bien utile; bonne journée à vous trois !

[aviateur]

Rebonjour
Ta matrice est relativement simple. Elle admet une factorisation de Choleski (peut être) assez facile calculer (dans la mesure ou ).
Ensuite tu peux utiliser la remarque de @ben.
C'est à dire que est la solution de que tu peux résoudre grâce à la factorisation.

[Gexo]

Effectivement aviateur, la méthode de Cholesky me parait être une bonne idée; je vais essayer comme ça. Merci beaucoup pour le tuyau.

[aviateur]

Rebonjour
Finalement j'ai résolu ton problème autrement. Grosso modo voilà l'idée.
On diagonalise M dans une base orthonormée de sorte que
(ici le hasard fait que )

Donc (i.e M est facilement inversible)

Le résultat est le suivant (attention pour moi n c'est la taille de M, il faudra que tu remplaces simplement n par 2n).
On pose
et

et


A noter que les sont les valeurs propres de la matrice M
et les termes sont les coefficients de la matrice P
i.e les coordonnées des vecteurs propres de M.
Le facteur étant un facteur de normalisation qui évite de calculer (i.e on a )

[Gexo]

Rebonjour
Finalement j'ai résolu ton problème autrement. Grosso modo voilà l'idée.
On diagonalise M dans une base orthonormée de sorte que
(ici le hasard fait que )

Donc (i.e M est facilement inversible)

Le résultat est le suivant (attention pour moi n c'est la taille de M, il faudra que tu remplaces simplement n par 2n).
On pose
et

et


A noter que les sont les valeurs propres de la matrice M
et les termes sont les coefficients de la matrice P
i.e les coordonnées des vecteurs propres de M.
Le facteur étant un facteur de normalisation qui évite de calculer (i.e on a )

Rebonjour aviateur,
Merci beaucoup à toi pour cette solution; je vais avoir besoin d'un peu de temps pour refaire tes calculs. Je te dirai si je trouve bien la même chose que toi. Tu m'as beaucoup aidé, un grand merci encore.

[aviateur]

Bonjour
Pas de pb. J'ai pas mis tous les détails car ça fait un peu long. Mais je peux expliquer pas à pas si nécessaire.

[Gexo]

Bonjour
Pas de pb. J'ai pas mis tous les détails car ça fait un peu long. Mais je peux expliquer pas à pas si nécessaire.

Cher aviateur,

J'ai pu refaire tes calculs de racines (le reste ne devrait pas poser de problèmes); j'ai compris une "astuce" juste après avoir posté un message où je demandais une précision. Je viens de l'effacer. Merci encore pour ton aide !