Prouver une équivalence à partir de norme

[Goliath]

Bonjour,

Je bloque complément sur un exercice, j'aurais besoin d'aide, tout est à valeurs dans R.
Soit une matrice A à m lignes et n colonnes et un vecteur b à m coefficients.
Pour tout x à m coefficients, on pose :
E(x) = N(Ax-b)_{2}^{2} (la norme 2 au carré de Ax-b)

Alors il faut montrer que pour a vecteur à m coefficients

E(a) = min E(x) est équivalent à transposé(A) * A * a = transposé(A) * b

Voilà je bloque complètement,
Merci d'avance

[Ben314]

Salut,
C'est relativement couillon une fois qu'on a compris un truc "cocon", à savoir que si on a deux vecteur colonne

où désigne le produit scalaire, la transposée et où dans on a identifié un réel et une matrice .

Avec ça, on montre facilement le résultat en étudiant la fonction réelle avec un vecteur fixé.
(il suffit de regarder la dérivée de cette fonction en t=0)

P.S. : Pour que ça soit clair au niveau des notation, la transposée de tu la note ; ou ?

[Goliath]

Perso j'utilise

je viens de calculer la dériver, j'obtiens :



et donc en posant t = 0



après je ne vois pas quoi faire de plus.

[Ben314]

J'ai l'impression que c'est ça, mais ton écriture (en particulier avec des * pour les produit) est bien lourde.
De plus, tu peut aussi simplifier en utilisant le fait que et il te reste à dire aussi que cette quantité doit être nulle quelque soit le vecteur h choisi au départ.


Qui est un bête polynôme du second degré en (si le coeff. est non nul).
Si est effectivement la valeur minimale de pour tout les , ça signifie en particulier que pour tout réel (1) c'est à dire que le polynôme est minimal pour donc que c'est à dire que (2) c'est à dire .
Or et pour que cette matrice soit nulle quelque soit le vecteur , il faut (et il suffit) que le vecteur soit nul, c'est à dire que .

Réciproquement, si , en remontant la preuve, ça prouve que tout les polynômes du type de (quelque soit le vecteur ) vont avoir un minimum en et ça prouvera bien que est le minimum de pour tout les vu que tout les peuvent s'écrire en prenant par exemple et .

(1) Attention, écrire un peu comme tu le fait , ça veut rien dire : le paramètre de c'est un réel et pas une matrice.
(2) Tu peut aussi utiliser le fait bien connu qu'un polynôme admet son minimum en .

[Goliath]

Merci je comprends beaucoup mieux maintenant