Conditionnement et banc public

[hdci]

Je me suis posé la même question initialement, mais en fait il y a une logique dans ce que présente rdt :

• le premier candidat s'assoit sur une place au hasard : il y a 6 places disponibles, donc 1/6 pour chaque place.
• puis le second candidat s'assoit sur l'une des places restantes : mais là il n'y a plus que 5 places disponibles

Avec cette démarche, il y a une chance sur 15 que le second s'assoie à côté du premier. Et comme il y a trois bancs...

L'erreur (ou la différence d'interprétation) consiste à dire "je choisis une place" et non "je choisis un banc".

Effectivement si on voit les choses comme ça. Mais néanmoins il faut qu'on soit d'accord, l'exercice (l'énoncé) n'est pas ambigu (du moins c'est mon avis). Rien n'est dit pour qu'il soit perçu tel que tu le dis.
Et puis sauf erreur de ma part si on conçoit l'exercice comme tu le dis la proba pour que X et Y soient assis l'un à côté de l'autre est 3/5. Ce qui montre tout de même que le raisonnement du posteur ne correspond pas à cette éventualité d'exercice.

En fait non : la probabilité qu'ils soient tous les deux sur le banc A est bien de 1/15 (et non 1/5), soit 3 fois 1/15 (et non 3 fois 1/5). Le posteur disait que P(D|A)=1/5, et P(D|A)P(A)=P(A&D) ce qui revient effectivement à dire que P(les deux sur le banc A)=1/15.

Mais je suis globalement en phase avec ce que tu disais un peu plus haut : tel qu'écrit, l'énoncé ne parle pas de "choix d'une place" mais de "choix d'un banc" et ne conditionne pas ce choix sur la présence ou non d'un quidam sur le banc.

En tant que prof, si j'avais à corriger, pourvu que l'explication soit correctement écrite j'accepterai la réponse 1/5

[rdt]

Ave,

Puisque :
on considère un jardin public,
et que l’énoncé ne précise pas que :
les deux personnes sont enclins à s’asseoir l’une sur l’autre,
ou,
les deux personnes ont les yeux bandés,
et les deux personnes portent des bouchons atténuant le son,
et les deux personnes sont contraintes de s’asseoir là où elles se sont dirigées même si l’autre personne s’y trouve ou dirige déjà,


Alors j’ai supposé qu’on excluait le cas où les deux personnes s’assoient « allègrement » l’une sur l’autre. Cette situation correspond sans doute à la majorité des situations observables dans un jardin public.

Il y a donc un conditionnement du positionnement de la seconde personne par la position de la première personne assise.
Le « hasard » correspond alors au faits que :
la première personne s’assoit sans préférence particulière pour un banc,
la seconde personne s’assoit sans préférence particulière pour une place restante,
les deux personnes ont la même probabilité d’être soit première soit seconde personne.
(première personne et seconde personne signifient respectivement, personne conditionnant le positionnement de l’autre, et personnne conditionnée par le positionnement de l’autre)

La probabilité que la première personne s’asseoit sur un banc particulier est donc 1/3.
La probabilité que la seconde personne s’asseoit à côté de la première personne est donc 1/5.

Si on note A, B et C, respectivement les événements « la première personne s’asseoit sur le banc A », « la première personne s’asseoit sur le banc B », « la première personne s’asseoit sur le banc C », A, B et C forment un partitionement de l’univers décrit précédement.

En notant D l’évenement « une personne s’assoit sur le même banc que l’autre », d’après ce qui précède et la formules des probabilités totales :

P(D) = P(A&D) + P(B&D) + P(C&D)= 1/5.

Je remarque en l’écrivant qu’il n’est pas immédiat, (comme toute chose, mais certains matheux ou mathématiciens ont particulièrement tendance à l’oublier), que P(D) = P(« les deux personnes soient assises sur le même banc»).
Cela deviendra clair, probablement (!), en considérant qu’avec seulement deux personnes dans l’expérience, et en stoppant l’expérience dès qu’elles sont toutes les deux assises :
les deux personnes sont assises sur le même banc à la fin de l’expérience (=1) si et seulement si une personne s’est assise sur le même banc que l’autre pendant l’expérience (=2).
(On n’a pas nécessairement 2 implique 1 si l’expérience ne s’arrête pas dès que les deux personnes sont toutes les deux assises).

Pour aviateur :

Votre modèle donne le même résultat que si l’on considère équiprobable dans un jardin public de s’asseoir sur les genoux d’une personne quelconque plutôt que sur une place libre.
Dans ce cas :
pour une place S de l’expérience, la probabilité de s’y asseoir est 1/6, et « chacun étant aussi commode qu’un banc public », la probabilité que les deux personnes s’y assoient est 1/36, et elle est égale à celle où les deux personnes s’asseoit l’une à côté de l’autre sur le banc qui contient cette place S.

Il y a 2 places par banc, et trois banc, donc d’après ce modèle :
P(« les deux personne soient assises sur le même banc») = (((1/6)(1/6) + (1/6)(1/6))2)3 = (1/9)3 = 1/3.

Cela peut éventuellement s’observer dans certains jardins à la saint-valentin, s’il fait beau temps ; de là à considérer que c’est normal dans un jardin public, il faut sans doute avoir la tête dans les nuages…
Les probabilités sont un outil de plus pour nous pemettre de mieux gérer notre trajectoire ; mais cet outil n’est efficace que si les modèles qu’il utilise ne sont pas trop abstrait.
Dans le cas de cet énoncé, je ne vois pas l’intérêt de préciser le milieu « jardin public » si l’on considère des comportements équivalents à ceux observables dans le milieu « salon privé avec son âme soeur ».


Puisse cette discussion avoir été utile,

Bonne soirée à tous.

[rdt]

Je remarque en l’écrivant qu’il n’est pas immédiat, (comme toute chose, mais certains matheux ou mathématiciens ont particulièrement tendance à l’oublier), que P(D) = P(« les deux personnes soient assises sur le même banc»).
Cela deviendra clair, probablement (!), en considérant qu’avec seulement deux personnes dans l’expérience, et en stoppant l’expérience dès qu’elles sont toutes les deux assises :
les deux personnes sont assises sur le même banc à la fin de l’expérience (=1) si et seulement si une personne s’est assise sur le même banc que l’autre pendant l’expérience (=2).
(On n’a pas nécessairement 2 implique 1 si l’expérience ne s’arrête pas dès que les deux personnes sont toutes les deux assises).

Il faut aussi considérer que les deux personnes ne s'assoient qu'une seule fois pendant l'expérience…
Soient :
tn l'instant n, et A et B les deux personnes de l'expérience.
On peut avoir :
t0: A et B ne sont pas assis
t1: A est assis sur le banc 1 et B n'est pas encore assis
t2: A et B ne sont pas assis
t3: B est assis sur le banc 1
t4: A est assis sur le banc 2.
fin de l'expérience.

B s'est assis sur le même banc que A pendant l'expérience mais A et B ne sont pas assis sur le même banc à la fin de l'expérience.

Bien que l'énoncé du problème, parce que lacunaire, puisse donner l'impression que cela fait beaucoup de conditions, c'est non seulement peut comparé à des modèles réalistes de "faits" ordinaires, mais c'est aussi ce qui vient le plus probablement à l'esprit quand on lit l'énoncé de l'exercice discuté.

[Ben314]

Salut,

Un jardin public comporte trois bancs à deux places chacun. Deux personnes s'assoient au hasard.

Ici l'énoncé est "choix aléatoire d'un banc" donc...

Je comprend pas bien où est-ce que tu lit dans l'énoncé que le "choix aléatoire" porte plus sur les banc plus que sur les places de bancs.
Perso, en lisant l'énoncé, j'aurais pas mal hésité entre les deux interprétations possible, mais je pense qu'au final, j'aurais plutôt pris celle disant que c'est un hasard "sur les places" vu que sinon, l'information disant que les bancs ont exactement deux places chacun ne servirait à rien.

[hdci]

@Ben314

A la relecture de l'énoncé, effectivement ce n'est pas vraiment précisé ; j'ai également pas mal hésité entre les deux interprétations et finalement j'aurais sûrement opté opté pour la première (seul le banc compte), mais ta dernière remarque est judicieuse (sur l'information "deux places").

[beagle]

J'allais ce matin faire la même remarque que Ben314,
déjà choisir un banc plutôt qu'une place n'est pas écrit,
et secundo dans un problème de maths si données numériques c'est soit
-pour s'en servir (ici ou question suivante , néanmoins)
-pour leurrer

mais le prof qui souhaite avoir une réponse par choix du banc et qui rajoute un leurre qui conduit à un calcul tout a fait rigoureux d'une situation autre,,
alors là c'est de la perversion.

Bon sinon notre ami rdt est pas mauvais en maths et en français,
mais un peu trop en français à mon gout, il developpe trop.
Donc sa démonstration initiale qui fait … lignes
pour nous décrire une situation où on a 1 place favorable sur 5 places possibles, c'est certainement trop long.
Donc si les profs du site peuvent lui dire comment rédiger le problème en teant compte des places,
avec une écriture plus sobre, je pense que cela peut lui ètre utile,
parce que en DM cela soule juste la personne qui lit,
mais en DS ce sera une grosse perte de temps pour lui...

[nodgim]

J'ai bien ri en tout cas à la brillante démonstration pince sans rire de rdt.

[beagle]

J'ai bien ri en tout cas à la brillante démonstration pince sans rire de rdt.

oui, il est très bon en français.
Et il a raison des bancs deux places c'est vraiment pas le jardin public familial,
c'est un jardin public pour la drague ou les amoureux!

Sinon son art du développement peut lui porter préjudice en maths.
Pour cela que je disais une écriture plus sobre que le premier message pour sa solution,
cela ne pourra que lui ètre bénéfique

[rdt]

En guise de remerciement pour l’intérêt que vous avez porté à cette discussion, j’aimerais la conclure légèrement en rappelant que nous avons ici vu qu’un modèle moins fin (orienté sur les bancs, plutôt que les places), peut nous donner une probabilité plus grande, "ce qui rejoint l’idée que le diable se cache dans les détails"…
Alors que certains d'entre nous n'hésitent pas à aller plus souvent au diable, pour mieux savoir comment nous éviter l’enfer.

Cordialement

[beagle]

salut rdt, la conclusion n'est pas encore arrivée.
ta rédaction du premier message est sans doute bonne, mais trop lourde,
j'espère qu'une rédaction plus légère te sera suggérée par nos pros du site.
Si c'est moi qui le fait, ça va ètre léger, mais alors sans doute un peu léger aussi, ou inorthodoxe ou...

[rdt]

Merci beagle mais je vois bien comment rédiger, la rédaction de mon premier message s’était faite un peu trop précipitamment. Mes doutes concernaient le conditionnement, mais j’ai eu l’occasion d’affermir ce point de vue.

[beagle]

Merci beagle mais je vois bien comment rédiger, la rédaction de mon premier message s’était faite un peu trop précipitamment. Mes doutes concernaient le conditionnement, mais j’ai eu l’occasion d’affermir ce point de vue.

ce serait sympa de montrer ça

[aviateur]

Bjr
J'ai survolé les différents posts mais il me semble qu'il n'y a pas d'explication claire concernant la solution pour la seconde lecture possible. Ce qui me gêne dans cette histoire c'est qu'on parle de "conditionnement" voire "de probabilité conditionnelle" alors que la situation est tout à fait simple.
La solution est donc
L'expérience aléatoire consiste à choisir 2 places parmi 6 de façon équiprobable (loi uniforme). Chaque paire de place a donc la même probabilité
L'événement les 2 personnes sont assises sur le même banc correspond à 3 paires de place (3 cas favorables), la proba est donc
Moi je veux bien qu'on trouve 3/5, mais si on y arrive en y mettant de la probabilité conditionnelle, il y a de quoi se poser des questions.

[beagle]

euh, 3/15 ça fait 1/5
et personne n'a jamais dit 3/5 avec proba conditionnelle.

mais j'avais mis la solution également avec le C(2,6) hier.
pour proba conditionnelle, cela doit s'écrire également proprement, maintenant perso le conditionnel sachant une personne, ben c'est même pas des probas conditionnelles:
deux personnes A et B
proba que B soit à coté de A= cas favorable / cas possibles = 1 /5 directement
vu que cela ne dépend pas d'où est A.

PS : A et B sur une même banc équivalent à B est sur le banc de A,
d'où un certain sachant A, proba B...

[rdt]

ce serait sympa de montrer ça

La charte du forum ne précise pas qu’on doive systématiquement être aidé et aidant.
LOL


Les démonstrations sont « canoniques » mais dépendent de ce que tu estimes pertinent comme interprétation de « deux personnes s’assoient au hasard dans un jardin public qui comporte trois bancs à deux places chacun ».

Pour tout prof, dirais-je, il peut suffir de prendre :

soit un point de vue qui n’églige les places, le fait que les personnes sont quelconques et que le milieu est un jardin public, comme aviateur*, et on est dans le cas de deux événements indépendants (« une personne s’asseoit sur un banc » ), [prof tout de même un peu coquin]

soit un point de vue qui prend en compte les places, le fait que les personnes sont quelconques et que le milieu est un jardin public, comme le mien, et on est dans le cas de deux événements avec conditionnement, (« une personne s’asseoit au hasard sur un banc », « une personne s’asseoit au hasard sur une place ou personne ne s’y trouve ou s’y asseoit »)

soit un point de vue qui expose les deux…


Pour plus de détails tu peux :
soit ouvrir une nouvelle discussion sur la formalisation du problème,
soit faire en sorte que j’ai le temps d’avoir une vie sociale.
(la première option a plus de chances de réussite).

En te souhaitant bonne réception, et joyeuse formalisation.

* aviateur parle même de choix de deux places parmis 6; il n’est donc plus question de jardin public ni de personne

[beagle]

"soit faire en sorte que j’ai le temps d’avoir une vie sociale."