pitchoune55 a écrit:je suis perdu...
c) En déduire que les couples solutions sont les couples de la forme (n+u , n+v) où u et v sont tous les naturels tels que uv = n².
Ca, tu l'as fait !
Qu'en déduis-tu ? Qu'est-ce que u et v pour n² ? Ce sont des diviseurs de n² !
d) Si n² a d diviseurs dans N, donner le nombre de solutions de cette équation.
On te dit qu'il y a d diviseurs pour n². Mais le nombre des diviseurs d'un carré parfait est un nombre impair !
Il y a n, bien sûr : n*n=n²
Et les d-1 autres diviseurs sont soit plus grands que n soit plus petits.
Si p est un diviseur de n² plus grand que n alors, il existe q tel que pq=n², et forcément q<n (si q était plus grand que n, alors pq serait plus grand que n² !). Et forcément q est aussi un diviseur de n². Ainsi, tous les diviseurs de n² autres que n peuvent s'apparier, pq=n², avec l'un des deux plus grand que n et l'autre plus petit.
Donc le nombre de couples de couples différents d'entiers (p,q) tels que pq=n² est égal à (d-1)/2+1, puisque (d-1)/2 est le nombre de couples (p,q) que l'on peut faire avec p et q différents, et 1 correspond au couple (n,n) car n²=n*n.
Et (d-1)/2+1=(d+1)/2 !
Le nombre de solutions différentes du problème est donc (d+1)/2
Voilà !