Conditionnement et banc public

[rdt]

Bonjour,

Si quelqu'un pouvait m'indiquer si ma solution au problème suivant est la bonne, je lui en serais très reconnaissant.

Merci d'avance.

Problème :

Un jardin public comporte trois bancs à deux places chacun. Deux personnes s'assoient au hasard.
Qu'elle est la probabilité qu'elles soient assises sur le même banc ?

Ma solution :

Soient :
A, B, et C les événements "une personne s'assoit sur le banc A, " "une personne s'assoit sur le banc B " et "une personne s'assoit sur le banc C";
D l'événement "une personne s'assoit sur le même banc que l'autre personne";
P(A, D) = probabilité de D sachant A;
P(B, D) = probabilité de D sachant B;
P(C, D) = probabilité de D sachant C;
X&Y l'intersection des événements X et Y.

Puisque les personnes s'assoient au hasard, les personnes ne peuvent s'assoir à la même place, et que chaque banc comporte deux places, on a :
P(A) = P(B) = P(C) = 1/3
P(A, D) = P(B, D) = P(C, D) = 1/5

Donc P(D) = P(A&D) + P(B&D) + P(C&D) = 3(1/3)(1/5)= 1/5

[aviateur]

Bon
D'abord j'ai rien compris a ton raisonnement. Il est d'une grande nébulosité. Une chose est sûre c'est que le résultat est faux.

[Sa Majesté]

Salut,

En calculant simplement le ratio (nombre de cas favorables) / (nombre de cas possibles), je ne trouve pas le même résultat que toi.

[aviateur]

Puisque les personnes s'assoient au hasard, les personnes ne peuvent s'assoir à la même place, et que chaque banc comporte deux places, on a :

Pour étayer ma remarque: cette phrase ci-dessus est vraiment ce qui est le plus incompréhensible.
De plus P(A)=1/3, c'est pas possible du tout.
Si tu appelles X et Y les deux personnes et bien l'événement A c'est
(X est assis sur le banc A et Y est assis sur un autre banc) ou bien (Y est assis sur le banc A et X est assis sur un autre banc)
Mme si c'est pas la question recalcule P(A)

[hdci]

Je me suis posé la même question initialement, mais en fait il y a une logique dans ce que présente rdt :

• le premier candidat s'assoit sur une place au hasard : il y a 6 places disponibles, donc 1/6 pour chaque place.
• puis le second candidat s'assoit sur l'une des places restantes : mais là il n'y a plus que 5 places disponibles

Avec cette démarche, il y a une chance sur 15 que le second s'assoie à côté du premier. Et comme il y a trois bancs...

L'erreur (ou la différence d'interprétation) consiste à dire "je choisis une place" et non "je choisis un banc".

[beagle]

faut savoir s'ils vont s'assoir en même temps? avec les risques d'avoir l'un sur les genoux de l'autre?
Sinon comme hdci, mais personne A va s'assoir n'importe où,
personne B arrive ensuite et a 5 places possibles, une seule est à coté de A.

[aviateur]

Pourtant c'est simple comme exercice.
L'événement W "les deux personnes (X et Y) sont assis sur le même banc est ègal à"

W=(X et Y sont assis sur A) ou (X et Y sont assis sur B) ou (X et Y sont assis sur C)


Dc P(W)=P(X et Y sont assis sur A)+P (X et Y sont assis sur B) + P (X et Y sont assis sur C)


Maintenant P(X et Y sont assis sur A)=P(X est assis sur A)xP(y est assis sur A) =1/3x1/3=1/9. (indépendance)
idem pour les autres
D'où P(W)=1/3

[beagle]

comment tu justifies ceci:
Maintenant P(X et Y sont assis sur A)=P(X est assis sur A)xP(y est assis sur A) =1/3x1/3=1/9.

[hdci]

Ici l'énoncé et "choix aléatoire d'un banc" donc le nombre de places disponibles sur le banc n'importe pas (la probabilité est la même que le banc soit déjà occupé par une personne ou non), et dans ce cas on est bien à 1/3.

Ceci dit, "dans la vraie vie" : quelle est la probabilité qu'un quidam B, ne connaissant pas le quidam A, s'assoie justement sur le banc du quidam A alors qu'il y en a deux autres ailleurs... L'énoncé aurait mérité une précision sur ce point...

[hdci]

comment tu justifies ceci:
Maintenant P(X et Y sont assis sur A)=P(X est assis sur A)xP(y est assis sur A) =1/3x1/3=1/9.

Pour préciser ce que je viens d'écrire juste avant : si la probabilité du choix du banc ne dépend que du banc, et pas du fait qu'il y ait déjà une personne dessus ou pas, alors les deux événements sont indépendants et on a bien la multiplication.

[nodgim]

Je ne suis pas sûr, après coup, que 1/5 soit erroné. L'énoncé ne dit pas qu'on s'assoit sur un banc au hasard ou qu'on s'assoit à une place au hasard. Ce qui est assez gênant. Vu l'ambiguïté, les 2 réponses me semblent correctes.

[aviateur]

Comme assez souvent, dans des énoncés de proba il y peut y avoir ambiguité. Mais pas ici car l'énoncé aurait parlé de ce qu'il se passe si les 2 personnes sont assis à la même place.

[beagle]

et proba que trois personnes s'assoient sur un même banc de deux places, on reste à 1/3 dès lors que cahcun peut choisir le banc qu'il veut avec la même proba quoi!

[aviateur]

Je me suis posé la même question initialement, mais en fait il y a une logique dans ce que présente rdt :

• le premier candidat s'assoit sur une place au hasard : il y a 6 places disponibles, donc 1/6 pour chaque place.
• puis le second candidat s'assoit sur l'une des places restantes : mais là il n'y a plus que 5 places disponibles

Avec cette démarche, il y a une chance sur 15 que le second s'assoie à côté du premier. Et comme il y a trois bancs...

L'erreur (ou la différence d'interprétation) consiste à dire "je choisis une place" et non "je choisis un banc".

Effectivement si on voit les choses comme ça. Mais néanmoins il faut qu'on soit d'accord, l'exercice (l'énoncé) n'est pas ambigu (du moins c'est mon avis). Rien n'est dit pour qu'il soit perçu tel que tu le dis.
Et puis sauf erreur de ma part si on conçoit l'exercice comme tu le dis la proba pour que X et Y soient assis l'un à côté de l'autre est 3/5. Ce qui montre tout de même que le raisonnement du posteur ne correspond pas à cette éventualité d'exercice.

[Carpate]

Et on sais avec Brassens que "les amoureux qui se bécotent sur un banc public, banc public (2 fois) , ont une gueule bien synpathique" !

[beagle]

J'ai pas compris pour trois personnes.
3 bancs de deux places
proba que les trois s'assoient sur le même banc c'est quoi,
1/3 x 1/3 X 1/3
fois 3 bancs = 1/9 d'avoir trois personnes assises sur un banc de deux places.

Je crois que j'ai rien compris.

[nodgim]

Je dis que l'énoncé est ambigu car dans le cas où une place est occupée, on ne sait pas si le 2ème promeneur en s'asseyant au hasard, va occuper 1 fois sur 5 la place voisine du 1er ou une fois sur 3 le banc déjà occupé. Vu l'énoncé, ce n'est pas possible de le dire.

[beagle]

"Un jardin public comporte trois bancs à deux places chacun."TROIS personnes s'assoient au hasard.
Qu'elle est la probabilité qu'elles soient assises sur le même banc ?

1/9 ????????

j'ai juste changé le nombre de personnes

[beagle]

"Un jardin public comporte trois bancs à deux places chacun. Deux personnes s'assoient au hasard.
Qu'elle est la probabilité qu'elles soient assises sur le même banc ?"

ab cd ef les trois bancs, une distribution de deux personnes A et B assises c'est:

0A 00 B0
nombre de cas possibles de deux personnes assises C(6,2)
(on peut remultiplier fois deux pour distinguer A ou B mais cela ne sert à rien)

nombre de cas favorables
AB 00 00
00 AB 00
00 00 AB
3 cas favorables (on pourrait faire fois deux pour distinguer A et B, mais ne sert à rien)

proba que deux personnes sur le meme banc : 3/15 = 1/5
(2x3 / 2x15 ne servait à rien)

[beagle]

Le même raisonnement amène à montrer rigoureusement que 3 bancs deux places,
3 personnes sur le même banc,
la proba est nulle car le nombre d'évènement favorable est zéro.